Probabilistyka, zadanie nr 4812
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
artur2137 post贸w: 11 |  2016-09-25 15:38:40Witam.Bardzo prosz臋 o rozwi膮zanie tych zada艅 : 1.) Z talii 52 kart wyj臋to losowo jedn膮 kart臋 i od艂o偶ono.Nast臋pnie wylosowano dwie karty. Obliczy膰 prawdopodobie艅stwo, ze za drugim razem wylosowano 2 kiery. 2.) Z talii 52 kart wyj臋to losowo 9 kart.Jakie jest prawdopodobie艅stwo, 偶e w艣r贸d wylosowanych kart 7 jest tego samego koloru? 3.) Ze zbioru monet i banknot贸w (ka偶dy nomina艂 bez groszy, po jednym egzemplarzu losujemy 2 nomina艂y. a) jakie jest prawdopodobie艅stwo, 偶e za wylosowan膮 kwot臋 mo偶na kupi膰 produkt za 150 z艂 90 gr? 4.)W grze losowej polegaj膮cej na rzucaniu monet膮 i kostk膮 do gry s膮 nast臋puj膮ce wygrane: w przypadku wyrzucenia or艂a i sz贸stki wygrana wynosi 6 z艂.W przypadku wyrzucenia reszki i parzystej liczby oczek wygrana to 2 z艂.W razie innego wyniku gracz traci 3 z艂.Znale藕膰 rozk艂ad prawdopodobie艅stwa wygranej, obliczy膰 warto艣膰 oczekiwan膮 i wariancj臋. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-09-25 15:56:25 1) mam nadziej臋, 偶e grasz na zaj臋ciach w karty i wiesz, ile talia ma kier贸w Wobec tego chyba umiesz powiedzie膰, jakie s膮 szanse wyci膮gni臋cia dw贸ch kier贸w z talii pozbawionej karty, gdy ta karta by艂a kierem, jak r贸wnie偶 jakie s膮 szanse wyci膮gni臋cia dw贸ch kier贸w z talii pozbawionej karty, gdy ta karta kierem nie by艂a. W zadaniu 1) stosujemy prawdopodobie艅stwo ca艂kowite. W szkole 艣redniej si臋 to za艂atwia艂o drzewkami. Szansa wylosowania kiera mno偶ona przez szans臋 wylosowania dw贸ch kier贸w pod warunkiem, 偶e tali臋 pozbawiono jednego kiera plus szansa wylosowania nie-kiera mno偶ona przez szans臋 wylosowania dw贸ch kier贸w pod warunkiem, 偶e tali臋 pozbawiono karty, kt贸ra kierem nie by艂a. ---- Od razu dodam, 偶e nie, nie rozwi膮偶臋 zada艅 od pocz膮tku do ko艅ca, skoro nie wykazujesz ch臋ci wsp贸艂pracy. ;) ----- 2) A jakie jest prawdopodobie艅stwo, 偶e 7 (ponadto: dok艂adnie 7 czy co najmniej 7?) z 9 losowo wybranych kart to piki? Je艣li interesuje nas dok艂adnie 7 pik贸w, to wybieramy 7 pik贸w spo艣r贸d wszystkich pik贸w, a 2 karty spo艣r贸d nie-pik贸w. Chyba wiesz, na ile sposob贸w si臋 da? Jak to liczymy? (Wiedza maturalna) A na ile sposob贸w og贸艂em mo偶na wybra膰 9 kart z talii? Ponadto, je艣li interesuj膮 nas dowolne kolory, a nie tylko piki, to wynik pomno偶ymy przez 4. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-09-25 16:05:06 3) mamy 1,2,5,10,20,50,100,200 i losujemy dwa nomina艂y. Na ile sposob贸w w og贸le mo偶emy to zrobi膰? A ile z tych sposob贸w umo偶liwia nam zakupy opisane w tre艣ci zadania? 4) Mo偶emy otrzyma膰 6 z艂 2 z艂 -3 z艂 (dosta膰 ujemne pieni膮dze to tyle, co straci膰 dodatnie) Rozk艂ad prawdopodobie艅stwa polega tylko na napisaniu, jakie s膮 prawdopodobie艅stwa poszczeg贸lnych wynik贸w. Dla przyk艂adu wygrana 6 z艂 zachodzi z prawdopodobie艅stwem $\frac{1}{2}*\frac{1}{6}$ Podobnie obliczamy prawdopodobie艅stwa dla pozosta艂ych wynik贸w $\begin{matrix} x_i &&& p_i \\ 6 &&& \frac{1}{12} \\ 2 &&& p_2=? \\ -3 &&& p_3=? \end{matrix}$ Obliczenie warto艣ci oczekiwanej i wariancji to tylko podstawienie do wzor贸w. Mno偶ymy ka偶dy mo偶liwy wynik przez jego prawdopodobie艅stwo, takie iloczyny do siebie dodajemy, oto warto艣膰 oczekiwana $\overline{x}$ Nast臋pnie liczymy kwadraty odchyle艅 od warto艣ci oczekiwanej $(6-\overline{x})^2$ $(2-\overline{x})^2$ $(-3-\overline{x})^2$ i liczymy warto艣膰 oczekiwan膮 kwadratu odchyle艅 (czyli dok艂adnie tak, jak wcze艣niej warto艣膰 oczekiwan膮 wygranej). To wariancja. |
artur2137 post贸w: 11 | 2016-09-25 17:17:46 Zadanie 3. Wydaje mi si臋, 偶e og贸lnie mo偶emy to zrobi膰 na 56 sposob贸w, a 14 sposob贸w umo偶liwia nam ten zakup.Czyli prawdopodobie艅stwo to 14/56? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-09-25 17:24:19 Ok. Mo偶na to zadanie rozwa偶a膰 bez uwzgl臋dniania kolejno艣ci (gdy np 50 z艂 + 100 z艂 to to samo co 100 z艂 + 50 z艂), ale mo偶na te偶 uwzgl臋dni膰 kolejno艣膰 (i najpierw 50, potem 100, to co innego ni偶 najpierw 100, potem 50). Modele te dadz膮 to samo prawdopodobie艅stwo. Jest ok. Wynik lepiej skr贸ci膰. |
artur2137 post贸w: 11 | 2016-09-25 17:57:40 Dzi臋ki wielkie za odpowied藕. zad 1.) co do tego nie jestem pewien czy dobrze rozumuje W talii mamy 13 kier贸w, talia ma 52 karty. Szanse, gdy ta karta jest kierem : 13/51 Szanse, gdy ta karta kierem nie jest 12/51 Szansa wylosowania nie-kiera 38/51 Czyli: 13/51*12/51 + 38/51*13/51= 156/2601+494/2601=650/2601? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-09-25 18:28:47 1) zadanie m贸wi, 偶e pierwsz膮 wylosowan膮 kart臋 od艂o偶ono, losowano jeszcze dwie. Wobec tego oczywi艣cie 13/52 to szansa, 偶e ta startowa karta by艂a kierem, a 39/52, 偶e nim nie by艂a. To jest karta na starcie. Teraz losujemy dwie. Jako 偶e kolejno艣膰 nie jest wa偶na, odruchowo liczy艂bym kombinacjami, ale w艂膮czenie tu kolejno艣ci, jak w zadaniu 3), nie popsuje wyniku. Pierwszy etap ma dwa wyniki 13/52 oraz 39/52 Je艣li zaszed艂 pierwszy, to zosta艂o 12 kier贸w, w贸wczas szansa wylosowania dw贸ch to $\frac{12}{51}*\frac{11}{50}$, je艣li zaszed艂 drugi, to mamy wci膮偶 13 kier贸w, szansa wylosowania dw贸ch to $\frac{13}{51}*\frac{12}{50}$. $\frac{13}{52}*\frac{12}{51}*\frac{11}{50}+\frac{39}{52}*\frac{13}{51}*\frac{12}{50}$. --- Mo偶esz na to zadanie spojrze膰 inaczej. Losujemy trzy karty kolejno. Interesuj膮 nas wyniki kkk i nkk, gdzie k oznacza kier, n oznacza nie-kier. Wynik b臋dzie jak wy偶ej, prawda? ----- Mo偶esz zadanie robi膰 kombinacjami. Wyb贸r dw贸ch kart spo艣r贸d 13 (je艣li wcze艣niej nie by艂o kiera) lub dw贸ch spo艣r贸d 12 (je艣li jeden kier odpad艂). $\frac{13}{52}*\frac{{12 \choose 2}}{{51 \choose 2}}+\frac{39}{52}*\frac{{13 \choose 2}}{{51 \choose 2}}$ Wychodzi tyle co wcze艣niej? :) ----- A skoro zrobili艣my ju偶 wariacjami i kombinacjami, to jeszcze dla 偶artu poka偶臋, 偶e permutacjami te偶 si臋 da艂o. Mamy 52 karty. Tasujemy je. Za艂贸偶my, 偶e w pierwszym etapie losujemy ostatni膮, a w drugim etapie losujemy pierwsz膮 i drug膮 (bowiem mo偶na my艣le膰 o tym, 偶e losowanie polega na tasowaniu, kt贸re na okre艣lonej pozycji wylosowuje nam po prostu jak膮艣 kart臋). Ostatnia karta ma by膰 \"od艂o偶ona\". Okejka. Zatem nic nie dotykajmy, ale my艣lmy o niej jak o od艂o偶onej. Po to mamy rozum. Mamy zatem potasowan膮 tali臋 kart i interesuje nas tylko prawdopodobie艅stwo, 偶e dwie pierwsze karty s膮 kierami. Wszystkich permutacji jest 52! Ale je艣li pomin膮膰 oznaczenia figur, a zainteresowa膰 si臋 tylko kolorem, to b臋dzie ich $\frac{52!}{39!13!}$. Dzielenie przez 39! wynika st膮d, 偶e je艣li mamy ju偶 39 miejsc, w kt贸rych s膮 nie-kiery, to ich permutowanie nie zmienia uk艂adu kolor贸w (kier / nie-kier). Podobnie permutowanie 13 kier贸w nie zmienia tego uk艂adu. Ile jest natomiast permutacji, w kt贸rych kiery s膮 na dw贸ch pierwszych miejscach? Je艣li zn贸w nie uwzgl臋dniamy figur, a tylko kolor kier / nie-kier, to jest ich $\frac{50!}{11!39!}$ bo mamy tylko 50 miejsc, gdzie rozstawiamy karty losowo (na pierwszych dw贸ch miejscach kolor jest okre艣lony), z tego 11 to kiery, a 39 nie-kiery. Dostajemy wi臋c $\frac{\frac{50!}{11!39!}}{\frac{52!}{39!13!}}=\frac{50!*12*13}{52!}=\frac{12*13}{51*52}$ i sobie mo偶esz przeliczy膰, 偶e to ten sam wynik, kt贸ry by艂 po zastosowaniu wariacji i ten sam, co przy kombinacjach. ;) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-09-25 18:38:32 przez tumor |
artur2137 post贸w: 11 | 2016-09-25 19:08:51 Super ! zaczynam rozumie膰 :) Co do zadania nr 4. Rozk艂ad prawdopodobie艅stwa Xi 6 to dla niego Pi to 1/12 poniewa偶, gdy wyrzucamy or艂a daje 1/2 (poniewa偶 mamy 2 mo偶liwo艣ci: albo orze艂 albo reszka) i 1/6 (poniewa偶 mamy 6 mo偶liwo艣ci i jedna z nich mo偶e by膰 sz贸stka) Xi dla 2 to 1/2 (taka sama sytuacja tylko ,偶e wypada orze艂)*3/6(tu mamy 3 mo偶liwo艣ci na 6 wypadni臋cia parzystej liczby oczek) czyli 1/2*3/6 daje wynik 3/12 Xi dla -3 to 1/2 (mo偶e wypa艣膰 albo orze艂 albo reszka) i 3/6 (mo偶e wypa艣膰 nieprzysta liczba oczek) co daje 3/12 Warto艣膰 oczekiwana 6*1/12+2*3/12+(-3*3/12)=6/12+6/12+(-9/12)=12/12 -9/12=3/12=1/4 mam nadziej臋, 偶e wysz艂o dobrze :) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-09-25 19:45:31 Nie wysz艂o dobrze. Masz b艂膮d. 殴le liczysz \"pozosta艂e\" wyniki. Razem prawdopodobie艅stwa $p_i$ maj膮 da膰 1 $\frac{1}{12}+\frac{3}{12}+\frac{3}{12}\neq 1$ |
artur2137 post贸w: 11 | 2016-09-25 19:56:27 dla przyk艂adu wygrana wynosi 2 z艂 zachodzi z prawdopodobie艅stwem (1/2 tak jak w przypadku or艂a tylko odwrotna sytuacja czyli reszka)*3/6 (og贸lnych mo偶liwo艣ci 6) z tego 3 mog膮 by膰 parzyste (2,4,6) czyli 3/6 1/2*3/6=3/12. Chocia偶 nie wiem czy dobrze analizuje. A dla przyk艂adu, gdy wygrana wynosi -3? Nic mi innego do g艂owy nie przychodzi. |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj