logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4841

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-10-08 15:32:53

zbadaj zbieżność punktową i jednostajną ciągów funkcyjnych w podanych zbiorach:
a)$f_{n}$(x)=$\frac{1}{x+n}$, x$\in$(0,$\infty$)
b)$f_{n}$(x)=$(sinx)^{n}$, x$\in$[0,$\frac{\pi}{2}$)
c)$f_{n}$(x)=$\frac{1}{n}$[nx], x$\in$R
d)$f_{n}$(x)=arctgnx ,x$\in$R
e)$f_{n}$(x)=$x^{n}$(1-x), x$\in$[0,1]
f)$f_{n}$(x)=xarctgx, x$\in$(0,$\infty$)


tumor
postów: 8070
2016-10-08 17:40:41

No i? Jakieś próby? Propozycje? Czy tylko mamy Ci dziękować, że możemy zrobić za Ciebie?

a) wartości $f_n$ są dodatnie, ale mniejsze od $\frac{1}{n}$.
Granicą punktową oczywiście jest 0, bo nie może nią być funkcja o przyjmująca jakieś wartości dodatnie ani funkcja przyjmująca jakieś wartości ujemne, co wynika z definicji granicy.

supremum różnicy $|f_n-f|$ ze wzrostem n maleje do 0, co oznacza jednostajną zbieżność

b) wartości sinx są dla x z dziedziny nieujemne i mniejsze od 1, wobec czego dla każdego ustalonego x wartość $f_n(x)$ zbiega do 0 ze wzrostem n.
Zawsze jednak znajdziemy x na tyle bliski $\frac{\pi}{2}$, żeby $f_n(x)$ było dowolnie bliskie $1^n$.
Granicą punktową jest f(x)=0, ale supremum różnicy $|f_n-f|$ jest równe 1, nie zmienia się ze wzrostem n.

Reszta podobnie. Zastanawiamy się, co się dzieje z $f_n(x)$, gdy zwiększamy n dla ustalonego x. Dostajemy granicę punktową. Jeśli przypadkiem mamy ciąg funkcji ciągłych, a granica ciągła nie jest, to od razu wiemy, że zbieżność nie jest jednostajna. Jeśli granica jest też funkcją ciągłą, to sprawdzamy, jak zachowuje się supremum $|f_n-f|$ ze wzrostem n.

Wiadomość była modyfikowana 2016-10-08 17:42:26 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj