Analiza matematyczna, zadanie nr 4842

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tomek987 postów: 103	2016-10-08 18:10:03 Jak udowonić, że dla a+b=1 $\lim_{x\to a, y\to b}$ $\frac{ysin(\pix)}{x+y-1}$ granica nie istnieje?

tumor postów: 8070	2016-10-08 18:38:45 Mianownik ma granicę 0, przy tym możemy znaleźć ciągi $(x_n,y_n)$ takie, żeby w miarę zbliżania do (a,b) mianownik był ujemny jak i takie, żeby w miarę zbliżania się do (a,b) mianownik był dodatni. Licznik dla a,b niecałkowitych nie jest zerem, ma ustalony znak, wobec tego w zależności od doboru ciągu $(x_n,y_n)$ dostajemy granicę niewłaściwą + lub - nieskończoność, a to wyklucza istnienie jednej granicy funkcji (def. Heinego). No ale ta argumentacja załamuje się, gdy licznik też ma granicę 0, czyli gdy a jest całkowite. Przyjmij, że a jest liczbą całkowitą i policz granice różnych ciągów $f(x_n,y_n)$ gdzie $(x_n,y_n)$ zbiega do (a,b) Na przykład $x_n=a+\frac{1}{n}, y=b$ lub $x_n=a, y=b+\frac{1}{n}$ lub jeszcze innych.

tomek987 postów: 103	2016-10-08 19:58:41 Wyszło mi, że taka granica równa się 0, czy dobrze? Wiadomość była modyfikowana 2016-10-08 20:04:31 przez tomek987

tumor postów: 8070	2016-10-08 20:38:12 Jaka? W obu przypadkach? To raczej nie wygląda zbyt ok. Możesz pokazać obliczenia?

tomek987 postów: 103	2016-10-08 22:03:37 Nie umiem się tego doliczyć. Dla $x_{n}=a+\frac{1}{n}, y_{n}=b$ mamy $\frac{bsin((a+\frac{1}{n})\pi)}{a+b+\frac{1}{n}-1} = nbsin(a\pi)cos\frac{\pi}{n}+nbsin\frac{\pi}{n}cos(a\pi) \rightarrow 0$ Dla $x_{n}=a, y_{n}=b+\frac{1}{n}$ mamy $\frac{(b+\frac{1}{n})sin(a\pi)}{a+b+\frac{1}{n}-1}= nbsin(a\pi)+sin(a\pi)\rightarrow0$ Wydaje mi się, że w pierwszych obliczeniach gdzieś się pomyliłem. Jeśli znalazłbyś błąd to będę bardzo wdzięczny. Zadanie wydaje się łatwe, a jednak coś nie mogę zrobić. Z góry bardzo dziękuję i przepraszam

tumor postów: 8070	2016-10-08 22:16:13 możesz mi przypomnieć granicę $\frac{sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$?

tomek987 postów: 103	2016-10-09 09:50:38 Napisana przez Pana granica jest 1 (zupełnie zapomniałem o tym). Więc pierwsza liczona przeze mnie granica wyjdzie $-b\pi$ a druga 0, mam rację? Czyli oznacza to, że dla $a+b=1$ granica nie istnieje. Teraz jest wszystko dobrze?

tumor postów: 8070	2016-10-09 15:15:00 No jeszcze nie oznacza. Bo $-b\pi$ może być tym samym, co 0, jeśli akurat b=0. Czyli wciąż nie mamy wszystkich możliwych przypadków. Teraz uznajmy już w prost, że a=1, b=0, bo musimy pokazać, że w tym ostatnim przypadku granica nie istnieje. Przy takich danych i licznik i mianownik mają oddzielnie granice równe 0. Jeśli dla każdego ciągu $x_n,y_f$ o granicy a,b będziemy mieć $f(x_n,y_n)\to 0$, to jest możliwe, że w tym konkretnym przypadku granica będzie istnieć. Mamy tu problem prędkości zbliżania się do 0. Na przykład $\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{n^2}}$ ma oczywistą granicę 0, natomiast $\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{2^n}}$ ma już granicę $\infty$. Czym się różnią? Właśnie tempem tego, czy licznik, czy też mianownik szybciej (w sensie, którego wyjaśniać nie będę) zbiegają do 0. Wracając do przykładu z zadania. Jeśli będziemy mieć coś zbliżonego do $\frac{\frac{1}{n}sin\frac{\pi}{n}}{\frac{1}{n}}$, to do 0 szybciej zbliża się licznik niż mianownik, wobec tego granicą jest 0. Pytanie, czy damy radę wymyślić nieco bardziej skomplikowany ciąg, żeby mianownik zbiegał do zera co najmniej równie szybko (wtedy granicą będzie inna liczba niż 0 albo nieskończoność albo nie będzie istnieć granica). Zatem kombinuj. Jeśli mamy $\frac{\frac{1}{n}sin\frac{\pi}{n}}{\frac{1}{n}}$ to w liczniku jest funkcja zbliżona do $\frac{1}{n^2}$ (bo $sin \frac{1}{n}$ ma wartości bliskie $\frac{1}{n})$, a w mianowniku do $\frac{1}{n}$. Wykombinuj proszę inne ciągi $x_n,y_n$, żeby po ich wstawieniu w przykład mieć (to nie jedyna możliwość) w mianowniku $\frac{1}{n}$ do wyższej potęgi niż w liczniku. :) ----- No i jeszcze taka uwaga na temat metody. Jeśli masz trochę doświadczenia, intuicji albo szczęścia, to możesz od razu skonstruować te najlepsze ciągi, które pozwolą nie rozbijać przypadku na mniejsze problemy. Być może ten ciąg, który wymyślisz, jeśli wymyślisz, żeby mianownik szybciej do 0 zbiegał niż licznik, będzie dobry i do wcześniejszych przypadków, czyli pozwoli na napisanie krótkiego rozwiązania zadania. Jednocześnie jednak matma nie polega na tym, żeby tylko znaleźć najlepszy ciąg dzięki objawieniu. Dlatego wygodnie jest, gdy masz jakiś problem, zastanowić się, jak go uprościć. Bardzo łatwo w tym przypadku było podać $x_n,y_n$ takie, żeby granica wyszła 0. Dla rozwiązania zadania kombinujemy, jak znaleźć inny ciąg, żeby wyszło cokolwiek poza 0. Najłatwiej mi przyszło z przypadkiem, w którym $a$ nie jest liczbą całkowitą. Potem trzeba się zabrać za liczby całkowite. Wciąż proste ciągi działają, ale nie dla b=0. Zatem powstaje ostatni przypadek, gdzie musimy minimalnie skomplikować ciąg (sugeruję w części $y_n$, ale to nie jest konieczny wymóg), żeby miał odpowiednie własności. To, co tu robimy, jest posuwaniem się do przodu w analizowaniu problemu, jaki przed nami postawiono. To się rzadko robi na studiach, bo dostajesz zawsze gotowiec, twierdzenie i dowód, a nikt Ci nigdy nie mówi, jak matematyk do takiego dowodu doszedł. A doszedł analizując problem krok po kroku, chyba że serio miał szczęście i intuicję.

tomek987 postów: 103	2016-10-09 18:46:40 To wziąłem $x=1$ $y=\frac{1}{n}$ wtedy dostaję $\frac{\frac{1}{n}*sin\pi}{\frac{1}{n}}$ ta granica jest równa 0. Nie bardzo wiem, jak teraz zmienić y, żeby ta granica się zmieniła. x musi się równać 1. Można ewentualnie wziąć $x=1+\frac{1}{n}$ lub coś podobnego. Jednak chyba to nie jest dobre wyjście, bo przy rozpisaniu tego ze wzoru na sinusa sumy dostaniemy też cosinusy. Jakieś inne sugestie? Jak tutaj dobrać x i y? Bardzo dziękuję za ten wywód na dole, bardzo pouczający :) Wiadomość była modyfikowana 2016-10-09 18:58:21 przez tomek987

tumor postów: 8070	2016-10-09 18:58:40 Przecie policz granicę $\frac{\frac{1}{n}*sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{2^n}}$ (Tam jest jeszcze drugi składnik, który się zeruje bo ma $sin\pi$, więc go nie pisałem) wyszła Ci $\infty$? Mnie nie. Spróbuj dobrać ciągi tak, by było bardzo podobnie, ale żeby z mianownika znikło $\frac{1}{n}$, zostało $\frac{1}{2^n}$, a żeby w liczniku nie było żadnych istotnych zmian (to znaczy, żeby te, które będą, nie zmieniały jakoś strasznie tempa zbieżności licznika do 0)

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj