Analiza matematyczna, zadanie nr 4842
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-10-08 18:10:03Jak udowoni膰, 偶e dla a+b=1 $\lim_{x\to a, y\to b}$ $\frac{y*sin(\pi*x)}{x+y-1}$ granica nie istnieje? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-08 18:38:45 Mianownik ma granic臋 0, przy tym mo偶emy znale藕膰 ci膮gi $(x_n,y_n)$ takie, 偶eby w miar臋 zbli偶ania do (a,b) mianownik by艂 ujemny jak i takie, 偶eby w miar臋 zbli偶ania si臋 do (a,b) mianownik by艂 dodatni. Licznik dla a,b nieca艂kowitych nie jest zerem, ma ustalony znak, wobec tego w zale偶no艣ci od doboru ci膮gu $(x_n,y_n)$ dostajemy granic臋 niew艂a艣ciw膮 + lub - niesko艅czono艣膰, a to wyklucza istnienie jednej granicy funkcji (def. Heinego). No ale ta argumentacja za艂amuje si臋, gdy licznik te偶 ma granic臋 0, czyli gdy a jest ca艂kowite. Przyjmij, 偶e a jest liczb膮 ca艂kowit膮 i policz granice r贸偶nych ci膮g贸w $f(x_n,y_n)$ gdzie $(x_n,y_n)$ zbiega do (a,b) Na przyk艂ad $x_n=a+\frac{1}{n}, y=b$ lub $x_n=a, y=b+\frac{1}{n}$ lub jeszcze innych. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-10-08 19:58:41 Wysz艂o mi, 偶e taka granica r贸wna si臋 0, czy dobrze? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-10-08 20:04:31 przez tomek987 |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-08 20:38:12 Jaka? W obu przypadkach? To raczej nie wygl膮da zbyt ok. Mo偶esz pokaza膰 obliczenia? |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-10-08 22:03:37 Nie umiem si臋 tego doliczy膰. Dla $x_{n}=a+\frac{1}{n}, y_{n}=b$ mamy $\frac{b*sin((a+\frac{1}{n})\pi)}{a+b+\frac{1}{n}-1} = n*b*sin(a\pi)*cos\frac{\pi}{n}+n*b*sin\frac{\pi}{n}cos(a\pi) \rightarrow 0$ Dla $x_{n}=a, y_{n}=b+\frac{1}{n}$ mamy $\frac{(b+\frac{1}{n})sin(a\pi)}{a+b+\frac{1}{n}-1}= n*b*sin(a\pi)+sin(a\pi)\rightarrow0$ Wydaje mi si臋, 偶e w pierwszych obliczeniach gdzie艣 si臋 pomyli艂em. Je艣li znalaz艂by艣 b艂膮d to b臋d臋 bardzo wdzi臋czny. Zadanie wydaje si臋 艂atwe, a jednak co艣 nie mog臋 zrobi膰. Z g贸ry bardzo dzi臋kuj臋 i przepraszam |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-08 22:16:13 mo偶esz mi przypomnie膰 granic臋 $\frac{sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$? |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-10-09 09:50:38 Napisana przez Pana granica jest 1 (zupe艂nie zapomnia艂em o tym). Wi臋c pierwsza liczona przeze mnie granica wyjdzie $-b\pi$ a druga 0, mam racj臋? Czyli oznacza to, 偶e dla $a+b=1$ granica nie istnieje. Teraz jest wszystko dobrze? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-09 15:15:00 No jeszcze nie oznacza. Bo $-b\pi$ mo偶e by膰 tym samym, co 0, je艣li akurat b=0. Czyli wci膮偶 nie mamy wszystkich mo偶liwych przypadk贸w. Teraz uznajmy ju偶 w prost, 偶e a=1, b=0, bo musimy pokaza膰, 偶e w tym ostatnim przypadku granica nie istnieje. Przy takich danych i licznik i mianownik maj膮 oddzielnie granice r贸wne 0. Je艣li dla ka偶dego ci膮gu $x_n,y_f$ o granicy a,b b臋dziemy mie膰 $f(x_n,y_n)\to 0$, to jest mo偶liwe, 偶e w tym konkretnym przypadku granica b臋dzie istnie膰. Mamy tu problem pr臋dko艣ci zbli偶ania si臋 do 0. Na przyk艂ad $\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{n^2}}$ ma oczywist膮 granic臋 0, natomiast $\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{2^n}}$ ma ju偶 granic臋 $\infty$. Czym si臋 r贸偶ni膮? W艂a艣nie tempem tego, czy licznik, czy te偶 mianownik szybciej (w sensie, kt贸rego wyja艣nia膰 nie b臋d臋) zbiegaj膮 do 0. Wracaj膮c do przyk艂adu z zadania. Je艣li b臋dziemy mie膰 co艣 zbli偶onego do $\frac{\frac{1}{n}*sin\frac{\pi}{n}}{\frac{1}{n}}$, to do 0 szybciej zbli偶a si臋 licznik ni偶 mianownik, wobec tego granic膮 jest 0. Pytanie, czy damy rad臋 wymy艣li膰 nieco bardziej skomplikowany ci膮g, 偶eby mianownik zbiega艂 do zera co najmniej r贸wnie szybko (wtedy granic膮 b臋dzie inna liczba ni偶 0 albo niesko艅czono艣膰 albo nie b臋dzie istnie膰 granica). Zatem kombinuj. Je艣li mamy $\frac{\frac{1}{n}*sin\frac{\pi}{n}}{\frac{1}{n}}$ to w liczniku jest funkcja zbli偶ona do $\frac{1}{n^2}$ (bo $sin \frac{1}{n}$ ma warto艣ci bliskie $\frac{1}{n})$, a w mianowniku do $\frac{1}{n}$. Wykombinuj prosz臋 inne ci膮gi $x_n,y_n$, 偶eby po ich wstawieniu w przyk艂ad mie膰 (to nie jedyna mo偶liwo艣膰) w mianowniku $\frac{1}{n}$ do wy偶szej pot臋gi ni偶 w liczniku. :) ----- No i jeszcze taka uwaga na temat metody. Je艣li masz troch臋 do艣wiadczenia, intuicji albo szcz臋艣cia, to mo偶esz od razu skonstruowa膰 te najlepsze ci膮gi, kt贸re pozwol膮 nie rozbija膰 przypadku na mniejsze problemy. By膰 mo偶e ten ci膮g, kt贸ry wymy艣lisz, je艣li wymy艣lisz, 偶eby mianownik szybciej do 0 zbiega艂 ni偶 licznik, b臋dzie dobry i do wcze艣niejszych przypadk贸w, czyli pozwoli na napisanie kr贸tkiego rozwi膮zania zadania. Jednocze艣nie jednak matma nie polega na tym, 偶eby tylko znale藕膰 najlepszy ci膮g dzi臋ki objawieniu. Dlatego wygodnie jest, gdy masz jaki艣 problem, zastanowi膰 si臋, jak go upro艣ci膰. Bardzo 艂atwo w tym przypadku by艂o poda膰 $x_n,y_n$ takie, 偶eby granica wysz艂a 0. Dla rozwi膮zania zadania kombinujemy, jak znale藕膰 inny ci膮g, 偶eby wysz艂o cokolwiek poza 0. Naj艂atwiej mi przysz艂o z przypadkiem, w kt贸rym $a$ nie jest liczb膮 ca艂kowit膮. Potem trzeba si臋 zabra膰 za liczby ca艂kowite. Wci膮偶 proste ci膮gi dzia艂aj膮, ale nie dla b=0. Zatem powstaje ostatni przypadek, gdzie musimy minimalnie skomplikowa膰 ci膮g (sugeruj臋 w cz臋艣ci $y_n$, ale to nie jest konieczny wym贸g), 偶eby mia艂 odpowiednie w艂asno艣ci. To, co tu robimy, jest posuwaniem si臋 do przodu w analizowaniu problemu, jaki przed nami postawiono. To si臋 rzadko robi na studiach, bo dostajesz zawsze gotowiec, twierdzenie i dow贸d, a nikt Ci nigdy nie m贸wi, jak matematyk do takiego dowodu doszed艂. A doszed艂 analizuj膮c problem krok po kroku, chyba 偶e serio mia艂 szcz臋艣cie i intuicj臋. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-10-09 18:46:40 To wzi膮艂em $x=1$ $y=\frac{1}{n}$ wtedy dostaj臋 $\frac{\frac{1}{n}*sin\pi}{\frac{1}{n}}$ ta granica jest r贸wna 0. Nie bardzo wiem, jak teraz zmieni膰 y, 偶eby ta granica si臋 zmieni艂a. x musi si臋 r贸wna膰 1. Mo偶na ewentualnie wzi膮膰 $x=1+\frac{1}{n}$ lub co艣 podobnego. Jednak chyba to nie jest dobre wyj艣cie, bo przy rozpisaniu tego ze wzoru na sinusa sumy dostaniemy te偶 cosinusy. Jakie艣 inne sugestie? Jak tutaj dobra膰 x i y? Bardzo dzi臋kuj臋 za ten wyw贸d na dole, bardzo pouczaj膮cy :) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-10-09 18:58:21 przez tomek987 |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-09 18:58:40 Przecie policz granic臋 $\frac{\frac{1}{n}*sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{2^n}}$ (Tam jest jeszcze drugi sk艂adnik, kt贸ry si臋 zeruje bo ma $sin\pi$, wi臋c go nie pisa艂em) wysz艂a Ci $\infty$? Mnie nie. Spr贸buj dobra膰 ci膮gi tak, by by艂o bardzo podobnie, ale 偶eby z mianownika znik艂o $\frac{1}{n}$, zosta艂o $\frac{1}{2^n}$, a 偶eby w liczniku nie by艂o 偶adnych istotnych zmian (to znaczy, 偶eby te, kt贸re b臋d膮, nie zmienia艂y jako艣 strasznie tempa zbie偶no艣ci licznika do 0) |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj