Probabilistyka, zadanie nr 4849

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
55555 postów: 60	2016-10-09 17:05:39 1) Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole cztery osoby, jeżeli : a) krzesła są numerowane, b) za jedno ustawienie uważamy wszystkie przypadki, gdzie każda z osób ma po prawej stronie tą samą osobę, c) za jedno ustawienie uważamy wszystkie przypadki, gdzie każda z osób ma tych samych sąsiadów. 2) Pięciu kolegów wybrało się do kina i znalazło rząd, w którym było 20 wolnych miejsc. Na ile sposobów mogą oni wybrać swe miejsca w tym rzędzie, jeżeli : a) muszą siedzieć razem (tzn. jeden obok drugiego) b) nie mogą siedzieć razem (każdy dwu musi przedzielać przynajmniej jedno wolne miejsce), c) mogą siedzieć dowolnie (razem lub osobno). 3) Na ile sposobów można z pełnej talii 52 kart wybrać 4 karty tak, aby: a) każda karta była innego koloru, b) nie było wśród nich kart tej samej wartości, c) nie było wśród nich kart tej samej wartości i każda była innego koloru.

55555 postów: 60	2016-10-09 17:16:41 1) a ) 4! ? 3) a) ${13 \choose 1}^{4}$ ?

tumor postów: 8070	2016-10-09 17:22:12 I wszystko ja mam zrobić, bo za dobry uczynek lepsze miejsce w niebie jest? 1) a) permutacje b) permutacje dzielone przez ilość obrotów c) wchodzi w grę symetria zwierciadlana 2) a) permutacje mnożone przez ilość pozycji całej piątki b) Zajmują w ten sposób 9 miejsc (bo czterech musi mieć po prawej wolne miejsce, a piąty nie musi. Pozostałych 11 miejsc rozdzielamy na 6 fragmentów, czyli: przed pierwszym z kolegów, między sąsiednimi dwoma, za ostatnim. Fragmenty mogą być puste. Zatem rozbijamy 11 na sumę sześciu liczb naturalnych (być może równych zero). Inaczej można na to spojrzeć rekurencyjnie. Jeszcze inaczej też się da, ale może na razie to starczy. c) połączenie permutacji i kombinacji, czyli inaczej wariacje bez powtórzeń 3) a) można mnożeniem kombinacji, a można zauważyć, na ile sposobów da się wybrać pierwszą, na ile drugą, na ile trzecią, na ile czwartą. b) chłopski rozum i tu podpowiada najszybsze rozwiązanie. c) j.w. Zacznijmy zatem od pierwszego zadania. Jakie są Twoje propozycje rozwiązań? 1) a) dobrze 3) a) dobrze, to właśnie mnożenie kombinacji. Po jednej z każdego koloru. Inaczej można było zauważając, że jedna karta jest dowolna. Następna musi być wybrana z 39 (poza kolorem pierwszej), następna z 26, następna z 13. Przy tym ten sam układ możemy dostać na 4! kolejności, więc $\frac{{52 \choose 1}{39 \choose 1}{26 \choose 1}*{13 \choose 1}}{4!}$, co daje ostatecznie ten sam wynik.

55555 postów: 60	2016-10-09 17:28:21 2) a) 16*5! ?

tumor postów: 8070	2016-10-09 17:30:13 2) a) tak. Serwuj może wyniki w większej ilości, a przy nieco bardziej skomplikowanych przykładach dodawaj trochę komentarza, skąd je bierzesz.

55555 postów: 60	2016-10-09 17:31:53 1) b) $\frac{4!}{4}$ ?

55555 postów: 60	2016-10-09 17:45:05 1) c) 3 ? 2) c) 2019181716 ? 3) b) $\frac{{52 \choose 1}}{4!}$${48 \choose 1}$${44 \choose 1}$${40 \choose 1}$ ?

tumor postów: 8070	2016-10-09 18:31:56 1) b) tak w końcu 4! to ilość układów przy numerowanych miejscach. Ale przestawienie o 0, 1, 2 lub 3 miejsca (czyli na cztery sposoby) daje ten sam układ, gdy już numeracji nie ma. Stąd dzielenie przez 4. 1) c) tak Można to uzyskać jako $\frac{4!}{42}$ bo od podpunktu b) różni się to tym tylko, że dla każdego układu istnieje jego odbicie w lustrze, stąd dzielenie na 2. Można też po prostu wziąć pierwszego człowieka, powiedzmy człowieka A, zauważyć, że jego sąsiadów możemy wybrać na ${3 \choose 2}$ sposobów, a ten na przeciwko to po prostu czwarty, który został. 2) c) tak Inaczej to wybór ${20 \choose 5}$ mnożony przez permutację ludzi na tych miejscach 5! Będzie $\frac{20!}{15!5!}5!$, czyli 2019181716, co na chłopski rozum oznacza, że pierwszy człowiek wybiera jedno miejsce z dwudziestu, drugi jedno z pozostałych 19 etc 3) b) Liczyłbym ${13 \choose 4}$, czyli wybór, z których figur mamy brać kartę, a to pomnożył przez ${4 \choose 1}^4$, bo z każdej figury dostajemy tyle możliwości. Jeśli zobaczysz wynik, to będzie taki jak Twój.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj