Algebra, zadanie nr 4852

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
brightnesss postów: 113	2016-10-10 08:38:51 Czesc prosze o pomoc z tym. Pokaz, ze wszystkie wartosci wlasne macierzy dodatnio okreslonej sa dodatnie. Czy macierz, ktorej wszystkie wartosci wlasne sa dodatnie, jest dodatnio okreslona? I dlaczego?

tumor postów: 8070	2016-10-10 09:58:44 Jeśli A jest macierzą dodatnie określoną i $\lambda$ jest jej wartością własną. Niech x będzie wektorem (kolumną), odpowiadającym wartości własnej $\lambda$. $x^TAx=x^T(\lambda x)=\lambda x^Tx=\lambda *( \sum x_i^2)$ z dodatniej określoności A wynika, że wynik po prawej jest dodatni, wobec czego nie ma innej możliwości niż $\lambda>0$. Łatwo podać przykład macierzy, która ma dodatnie wartości własne, ale dodatnio określona nie jest. Nie szukając daleko będzie $\left[\begin{matrix} 1&-3 \\ 0&1 \end{matrix}\right]$ Przy tym macierz symetryczna z dodatnimi wartościami własnymi już by była dodatnio określona. Macierz symetryczna jest diagonalizowalna. Macierze podobne mają te same wartości własne. Jeśli macierz diagonalna ma tylko dodatnie wartości własne, to jest dodatnio określona. Każdego z tych faktów to ja nie będę dowodzić, bo od tego jest wykład i na pewno się te twierdzenia pojawiają, tylko trzeba je zebrać do kupy. Chyba że mi wyślesz dobre notatki, to będę Ci wybierał z nich twierdzenia w odpowiedniej kolejności. O.

brightnesss postów: 113	2016-10-10 13:07:24 Bardzo dziękuję za pomoc!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj