Algebra, zadanie nr 4853
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
alekk97 post贸w: 14 |  2016-10-10 17:23:14M贸g艂by kto艣 sprawdzi膰, czy to rozwi膮zanie jest poprawne i czy w og贸le ma sens? $\forall_{n\ge12} p_{n}>3n$ Gdzie $p_{n}$ to n-ta liczba pierwsza Moje rozwi膮zanie opiera si臋 na tym, 偶e ka偶d膮 liczb臋 pierwsz膮 wi臋ksz膮 od 3 mo偶na przedstawi膰 w postaci p=6k+1 lub p=6k+5, k$\in$N Dla n=12 p=37>3脳12=36 Za艂贸偶my, 偶e $p_{n}$>3n 1掳 $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6k+5 6k+1>3n 6k+5>3n+4 $p_{n+1}$>3(n+1)+1>3(n+1) 2掳 $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+1)+1 6k+5>3n 6k+7>3n+2 6(k+1)+1>3n+2 $p_{n+1}$>3n+2=3(n+1)-1 Poniewa偶 $p_{n+1}$ to liczba pierwsza, wi臋c nie mo偶e by膰 podzielona przez 3. Zatem $p_{n+1}$>3(n+1) 3掳 $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6(k+1)+1 Analogicznie 4掳 $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+1)+5 Analogicznie |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-10 17:32:38 Uhm. Rozwa偶asz tu cztery przypadki, w kt贸rych kolejne dwie liczby pierwsze r贸偶ni膮 si臋 o 1) 4 2) 2 3) 6 4) 6 Natomiast nietrudno poda膰 dow贸d faktu, 偶e mi臋dzy dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi mo偶e istnie膰 dowolnie du偶o liczb z艂o偶onych, tzn, dla dowolnej liczby naturalnej m znajdziemy dwie kolejne liczby pierwsze r贸偶ni膮ce si臋 nie mniej ni偶 m. Wobec tego przy tym zapisie zdecydowanie si臋 nie zgodz臋. Je艣li chcesz konkretny przyk艂ad, to liczba $p_n=89$ jest pierwsza postaci 6k+5 natomiast $6(k+1)+1=91$ z艂o偶ona, $6(k+1)+5=95$ z艂o偶ona |
alekk97 post贸w: 14 | 2016-10-10 18:14:58 A inna wersja? m>=1 1掳 $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6(k+m)+1 6k+1>3n 6k+1+6m>3n+6m $p_{n+1}$>3(n+2m)$\ge$3(n+2)>3(n+1) 2掳 $p_{n}$=6k+1, $p_{n+1}$=6(k+m)+5 3掳 $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+m)+1 4掳 $p_{n}$=6k+5, $p_{n+1}$=6(k+m)+5 |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-10 18:29:04 Teraz wygl膮da poprawnie. Cho膰 mo偶na skondensowa膰. Dwie kolejne liczby pierwsze r贸偶ni膮 si臋 co najmniej o 2 (poza liczbami 2 i 3, kt贸rych pod uwag臋 nie bierzemy). Indukcyjnie krok startowy dla n=12 dzia艂a, $p_n>3n$ zatem $p_{n+1}>3n+2$, no ale $p_{n+1}$ nie jest r贸wne $3n+3$ bo nie by艂oby liczb膮 pierwsz膮 zatem $p_{n+1}>3n+3=3(n+1)$ Niczego wi臋cej nie potrzeba przecie偶. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj