logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Probabilistyka, zadanie nr 4854

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

55555
postów: 60
2016-10-11 17:05:19

1) Na okręgu umieszczono losowo try punkty. Jaka jest szansa, że utworzą one trójkąt ostrokątny ?

2) Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy pierwiastki równania $x^{3}$-3ax+2b=0
są rzeczywiste, jeśli wszystkie wartości współczynników w prostokącie |a|$\le$k, |b|$\le$l są jednakowo możliwe.

3) Odcinek o długości 1 podzielono losowo na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych odcinków da się zbudować trójkąt. A trójkąt ostrokątny, rozwartokątny, prostokątny, równoramienny, równoboczny ?


tumor
postów: 8070
2016-10-11 18:16:36

1)
Pierwszy punkt można zawsze wrzucić gdzie się chce. Oznaczmy zatem, że ten punkt to 0. Możemy dla wygody rachunków uznać, że okrąg ma długość $2\pi$.

Wybieramy zatem jeszcze dwa inne punkty okręgu, które możemy opisać jako x,y należące do przedziału $[0,L]$, gdzie L jest długością okręgu.
Wobec tego rozważmy kwadrat $[0,L]\times [0,L]$, a w nim punkty o współrzędnych $(x,y)$. Jakie warunki muszą spełniać współrzędne x,y, żeby w interpretacji tych punktów jako leżących na okręgu tworzyły one trójkąt ostrokątny?

2) Jak wiesz z algebry, równanie wielomianowe trzeciego stopnia ma trzy zespolone pierwiastki (nie muszą być różne). Narysuj wielomian trzeciego stopnia i zastanów się, jaki musi być, żeby miał trzy pierwiastki rzeczywiste (być może identyczne). Proponuję spojrzeć na ekstrema.

3) To jeszcze zależy, na czym polega proces losowania. Załóżmy, że na odcinku [0,1] losujemy x,y, które będą punktami podziału odcinka. Wówczas analogicznie do zadania 1) możemy rozważyć kwadrat i punkty (x,y) w nim. Jakie warunki muszą te współrzędne spełniać, żeby dało się zbudować trójkąt? A konkretne rodzaje trójkątów?

Równoboczny z prawdopodobieństwem 0. Resztę Ty robisz.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj