Analiza funkcjonalna, zadanie nr 4881
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kasiaiw post贸w: 50 |  2016-10-19 20:24:06Sprawd藕 czy operator $T:X\rightarrow Y$ jest operatorem liniowym, ci膮g艂ym i ograniczonym. Znale藕膰 norm臋 tego operatora (o ile istnieje), je偶eli: $(X,\|\cdot\|_{X})=(R^{2}, \|\cdot\|_{e}), (Y,\|\cdot\|_{Y})=(\mathbb{R},|\cdot|), T(t_{1},t_{2})=t_{1}+t_{2}$ Sprawdzi艂am 偶e jest operatorem liniowym i jest operatorem ograniczonym przez $M=1$. Mam problem z wyznaczeniem normy nie potrafi臋 wskaza膰 funkcji . Prosz臋 o pomoc . Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-10-19 20:24:21 przez kasiaiw |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-19 20:44:25 Nie znajdziesz najwi臋kszej warto艣ci funkcji $t_1+t_2$ przy warunku $t_1^2+t_2^2\le 1$? To raczej by艂o na analizie. |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-10-20 21:32:18 Mamy znale藕膰 $\parallel T \parallel= max_{t^2_{1}+t^2_{2}=1}\left\{ \sqrt{(t_{1}+ t_{2})^2} \right\}= \sqrt{max_{t^2_{1} + t^2_{2}=1}(t_{1} + t_{2})^2}. $ Zgodnie z metod膮 mno偶nik贸w Lagrange\'a dla pewnego $ \lambda > 0:$ $\left[ \frac{\partial(t_{1} + t_{2})^2}{\partial t_{1}}, \frac{\partial(t_{1}+t_{2})^2}{\partial t_{2}}\right] = \lambda \left[\frac{\partial(t^2_{1} +t^2_{2})}{\partial t_{1}}, \frac{\partial(t^2_{1} +t^2_{2})}{\partial t_{2}}\right].$ Co prowadzi do uk艂adu r贸wna艅: $ \left \{ \begin{matrix} 2(t_{1} + t_{2}) = 2\lambda t_{1}\\ 2(t_{1}+ t_{2}) = 2\lambda t_{2} \\ t^2_{1} + t^2_{2}= 1 \end{matrix}\right.$ Z pierwszych dw贸ch r贸wna艅 $\lambda(t_{1}-t_{2})=0, \ \ t_{1} = t_{2}.$ Z trzeciego r贸wnania: $ t^2_{1} = t^2_{2}= \frac{1}{2}, \rightarrow (t_{1}, t_{2}) = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right).$ St膮d $ \parallel T \parallel = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})^2}= \sqrt{2}.$ lub $ \parallel T \parallel = \sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}= \sqrt{2}.$ Patrz np: Witold Rzymkowski. Macierze i Operatory. strona 170. Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie Sk艂odowskiej Lublin 2004. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-20 21:46:22 Prosi艂bym o zostawienie czego艣 studentom. :) Bez metody mno偶nik贸w to samo zadanie sprytem wykonujemy tak: 1) mo偶emy rozwa偶a膰 warto艣膰 bezwzgl臋dn膮, a mo偶emy od razu zauwa偶y膰 symetri臋, wobec czego zak艂adamy $t_1,t_2$ dodatnie bez straty poprawnego wyniku. 2) maksymalizacja $t_1+t_2$ przy ustalonej sumie $t_1^2+t_2^2$ (tutaj suma to 1) jest tym samym zadaniem, co minimalizacja $t_1^2+t_2^2$ przy zadanej sumie $t_1+t_2=a$ mamy zatem zminimalizowa膰 $t_1^2+(a-t_1)^2$ czyli $2t_1^2-2at_1+a^2$ minimum, jak wie licealista poznaj膮cy funkcj臋 kwadratow膮, jest dla $t_1=\frac{1}{2}a=t_2$ wobec czego podobnie maksimum w naszym zadaniu, w kt贸rym go szukamy, jest dla $t_1=t_2$, co na okr臋gu jednostkowym (w pierwszej 膰wiartce) oznacza r贸wne $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Hihi, a rozumie膰, 偶e zadanie nie wymaga艂o armaty i 170 stron Rzymkowskiego, a tylko wiedzy licealnej, to rzecz niestety nie do nauczenia z ksi膮偶ki. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj