Analiza matematyczna, zadanie nr 4891
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
panmatematyk post贸w: 6 |  2016-10-22 15:50:21Czy funkcja jest ciagla? f(x,y)=$\frac{|x|+xy+|y|}{|x|+|y|} dla (x,y)\neq(0,0) $ I 1 dla (x,y)=(0,0) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-22 15:56:39 poza (0,0) oczywi艣cie jest ci膮g艂a jako suma/iloczyn funkcji ci膮g艂ych. 呕eby sprawdzi膰 w (0,0) liczymy granic臋 dla $(x,y) \to (0,0)$ z $f(x,y)$ Nie umiesz policzy膰 $\lim_{(x,y) \to (0,0)}(1+\frac{xy}{|x|+|y|})$? |
panmatematyk post贸w: 6 | 2016-10-22 17:03:59 No w艂a艣nie nie, bo nie wiem co zrobi膰 z modu艂ami. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-22 17:18:43 Nic. Mianownik jest po prostu zawsze dodatni. $-1\le \frac{x}{|x|+|y|} \le 1$ wobec czego je艣li $-\epsilon < y <\epsilon$, to $-\epsilon \le \frac{xy}{|x|+|y|} \le \epsilon$ --- Lub te偶 korzystaj膮c z innych znanych granic, ten przyk艂ad si臋 praktycznie nie r贸偶ni od $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ niczym poza znakiem, a znak nie jest dla tej granicy istotny. |
panmatematyk post贸w: 6 | 2016-10-22 17:26:06 Czyli, nasz funkcja nie jest ciagla, bo nie ma granicy? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-22 17:37:13 Powa偶nie? Mnie wysz艂o, 偶e jest ci膮g艂a, bo granica jest r贸wna warto艣ci funkcji w tym punkcie. :) |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-10-22 19:53:35 Oznaczmy funkcj臋 $ g(x,y) = \frac{xy}{|x|+|y|}.$ Aby stwierdzi膰 czy funkcja $ g $ jest ci膮g艂a w punkcie $ (0,0)$ musimy obliczy膰 granice: $ lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x,y), \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} g(x,y), \ \ lim_{(x,y)\to 0} g(x,y).$ $\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x, y):$ Wybieramy na p艂aszczy藕nie ci膮g $ (x, y_{n})$ zbie偶ny do punktu $ (x, 0).$ Zachodzi wi臋c $ lim_{n\to \infty} y_{n} = 0 $ i zak艂adamy dodatkowo, 偶e $ y_{n} \neq 0.$ Zgodnie z definicj膮 Heinego granicy funkcji w punkcie $\lim_{n\to \infty} g(x, y_{n}) = \lim_{n\to \infty} \frac{xy_{n}}{|x| + |y_{n}|}.$. Je艣li, $ x $ stale jest r贸wne 0, to granica ta jest r贸wna $ 0. $ Je艣li natomiast $ x\neq 0, $ to musimy wykona膰 oszacowanie $ \left | \frac{xy_{n}}{|x|+ |y_{n}|}\right| < \left | \frac{xy_{n}}{x} \right| = |y_{n}| \rightarrow 0, $ gdy $ n \rightarrow \infty. $ Niezale偶nie od warto艣ci $ x $ mamy wi臋c $ \lim_{y\to 0} g(x,y) = 0.$ Sk膮d wynika, 偶e $ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} g(x,y) = 0.$ $ lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}g(x,y):$ Drug膮 z granic iterowanych obliczamy w podobny spos贸b. Tym razem najpierw musimy wykona膰 granic臋 po $ x, $ traktuj膮c y jako parametr. Ci膮g punkt贸w p艂aszczyzny zbie偶ny do punktu $ (0, y) $ b臋dzie wi臋c mia艂 posta膰 $ (x_{n}, y), $ przy czym $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 $ oraz $ x_{n}\neq 0.$. Oczywi艣cie zachodzi r贸wno艣膰 $ g(x_{n}, 0) = 0,$ wi臋c wystarczy skoncentrowa膰 si臋 na przypadku $y \neq 0.$ Mamy w贸wczas oszacowanie: $0 < \left| \frac{x_{n} y}{|x_{n}| + |y|} \right|< \left|\frac{ x_{n}y}{y} \right| = |x_{n}| \rightarrow 0, $ gdy $ n\rightarrow \infty.$ W efekcie otrzymujemy $\lim_{x\to 0} g(x,y) = 0 \rightarrow lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}g(x,y) = 0.$ Co oznacza, 偶e obie granice iterowane s膮 r贸wne $ 0.$ Teraz obliczamy trzeci膮 granic臋: $ \lim_{(x,y)\to (0, 0)} g(x,y). $ Wybieramy taki ci膮g punkt贸w o wsp贸艂rz臋dnych $ (x_{n}, y_{n}), $ dla kt贸rego $ y_{n} = ax_{n}, a\neq 0.$ Je艣li $ \lim_{n\to \infty} x_{n} = 0 $ i $ x_{n}\neq 0, $ to automatycznie $ \lim_{n\to \infty}(x_{n}, y_{n}) = (0, 0).$ Obliczmy $g(x_{n}, y_{n}) = \frac{ax^2_{n}}{|x_{n}|+ |ax_{n}|}= \frac{ax^2_{n}}{|x_{n}|(1 + a)} = \frac{ax_{n}}{1 +|a|} \rightarrow 0 $, gdy $ n\rightarrow \infty. $ Otrzymany wynik nie zale偶y od $ a, $ czyli od wyboru kierunku prostej, po kt贸rej zbiegamy od pocz膮tku uk艂adu. Oznacza to, granica $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y) = 0.$ Zatem funkcja $ f(x, y) = 1 + g(x,y) $ jest ci膮g艂a w punkcie $ (0, 0).$ Patrz metodyka rozwi膮zania podobnych zada艅 Tomasz Rado偶ycki. Rozwi膮zujemy zadania z Analizy Matematycznej cz臋艣膰 II, strony 117 - 125. Wydawnictwo O艣wiatowe FOSZE. Rzesz贸w 2013. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj