logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4892

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

alekk97
postów: 14
2016-10-22 16:08:40

Znajdź wielomian $f\in C[x]$ stopnia 7, $f=x^{7}+ a_{6}x^{6}+...+a_{1}x+a_{0}$, który jako pierwiastki ma liczby zespolone $2+i, 2-i, 2, -3$ i nie ma innych pierwiastków. Czy taki wielomian jest wyznaczony jednoznacznie?

Ten wielomian da się przedstawić w postaci $f(x)=(x-(2+i))^{k}\cdot(x-(2-i))^{l}\cdot(x-2)^{m}\cdot(x+3)^{n}$, gdzie $k,l,m,n\in${1,2,3,4} i $k+ l + m + n = 7$

Wyjdzie 20 różnych wielomianów:
$f_{1}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{4}$
$f_{2}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{4}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{3}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{4}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{4}(x)=(x-(2+i))^{4}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{5}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+3)^{3}$
$f_{6}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{3}\cdot(x+3)^{2}$
$f_{7}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{2}\cdot(x-2)^{3}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{8}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{3}\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{9}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{2}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{3}$
$f_{10}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{3}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{2}$
$f_{11}(x)=(x-(2+i))^{3}\cdot(x-(2-i))^{2}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{12}(x)=(x-(2+i))^{2}\cdot(x-(2-i))^{3}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{13}(x)=(x-(2+i))^{3}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{14}(x)=(x-(2+i))^{3}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{2}$
$f_{15}(x)=(x-(2+i))^{2}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{3}\cdot(x+3)^{1}$
$f_{16}(x)=(x-(2+i))^{2}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{3}$
$f_{17}(x)=(x-(2+i))^{1}\cdot(x-(2-i))^{2}\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+3)^{2}$
$f_{18}(x)=(x-(2+i))^{2}\cdot(x-(2-i))^{1}\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+3)^{2}$
$f_{19}(x)=(x-(2+i))^{2}\cdot(x-(2-i))^{2}\cdot(x-2)^{1}\cdot(x+3)^{2}$
$f_{20}(x)=(x-(2+i))^{2}\cdot(x-(2-i))^{2}\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+3)^{1}$
Więc te wielomiany nie są jednoznaczne.

Czy to o to chodzi w tym zadaniu?


tumor
postów: 8070
2016-10-22 16:17:19

O to. Wielomian zespolony na pewno ma 7 pierwiastków zespolonych (liczonych z krotnościami), zatem jeśli ma tylko 4 różne pierwiastki, to przynajmniej niektóre muszą być wielokrotne.

Zauważ, że nieco inaczej wyglądałoby to zadanie, gdyby współczynniki wielomianu były rzeczywiste. Wówczas krotność pierwiastka zespolonego a+bi musi odpowiadać krotności sprzężenia a-bi.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj