logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4900

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

55555
postów: 60
2016-10-24 20:15:50

Udowodnij następujące własności miary Jordana:
1)A,B$\in$$M_{2}$$\Rightarrow$A$\cup$B, A$\cap$B, A\B$\in$$M_{2}$
2))A,B$\in$$M_{2}$, A$\cap$B=$\emptyset$$\Rightarrow$$m_{3}$(A$\cup$B)=$m_{3}$(A)+$m_{3}$(B)
3)A-przedział$\Rightarrow$A$\in$$M_{2}$ i $m_{3}$(A)=vol(A) (A-przedział ograniczony)

$m_{2}$-miara zewnętrzna
$m_{3}$-miara Jordana
$M_{2}$-rodzina wszystkich zbiorów mierzalnych po Jordanowsku


tumor
postów: 8070
2016-10-24 20:41:09

No olaboga. Dużo pisania, a nic, co by przeczyło intuicji.

Znasz definicję miary zewnętrznej Jordana, wewnętrznej Jordana i miary Jordana? Prostokąty, sumy prostokątów, infimum, supremum, takie tam?

1) dla każdego dodatniego $\epsilon$ istnieją takie sumy prostokątów $S_1\subset A\subset S_3$, że $m_3(S_1)$ się od $m_3(S_3)$ różni nie więcej niż $\epsilon/2$
To samo dla B.
Pokazujemy, że jak się zsumuje, pociacha prostokąty na mniejsze jeśli potrzeba, nie liczy dwukrotnie tego co w części wspólnej, to dla sumy $A\cup B$ istnieją sumy prostokątów, wewnętrzna i zewnętrzna, których miara się różni mniej niż $\epsilon$.

No i jakieś podobne rozumowanie trzeba ulepić dla różnicy, przekrój wtedy sam wychodzi.


2) dla pewnych sum prostokątów zachodzi ten warunek co w 1) z $\epsilon/2$, wobec tego mamy sumę prostokątów zawartą w A i (być może inną) zawierającą A. Tak samo dla B.
Suma tych zawartych będzie też zawarta w sumie $A\cup B$.
Suma zawierających A i B będzie też zawierać sumę $A \cup B$. Różnić się będą najwyżej o $\epsilon$.

3) przedział to prostokąt (co najwyżej mamy tu więcej wariantów końców przedziału), czyli tu mamy po prostu definicję miary Jordana bo objętość przedziału to zarazem miara wewnętrzna i zewnętrzna. Trzeba tylko te definicje zapisać. Zrozum to najpierw, a potem próbuj pisać. W innej kolejności idzie strasznie wolno.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj