Algebra, zadanie nr 4907
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
alekk97 postów: 14 | 2016-10-29 17:01:43 Niech $5\le a_{0}$ i $a_{n+1}=a_{n}^{2}-10 a_{n}+30$ dla $n=0,1,2...$ Wyjaśnić, czy ciąg $(a_{n})$ ma granicę i znaleźć ją, jeśli istnieje. Wynik może zależeć od $a_{0}$. -------------------------------------------- 1° $a_{0}=5$ Wtedy $a_{n}=5$ $\lim_{n \to \infty}a_{n}=5$ 2° $a_{0}>5$ Wykresem $a_{n}^{2}-10 a_{n}+30$ jest parabola z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołkiem jest punk (5,5). Ponieważ $a_{0}>5$ to bierzemy pod uwagę tylko prawą połowę paraboli bez wierzchołka. Z wykresu widać, że ten ciąg jest nieograniczony, czyli $\lim_{n \to \infty}a_{n}=+\infty$ |
pm12 postów: 493 | 2016-10-29 20:24:51 Jesli a0 = 6, to nie jest prawdą, ze granica ciagu a_n to nieskonczonosc. Wiadomość była modyfikowana 2016-10-31 02:56:19 przez pm12 |
janusz78 postów: 820 | 2016-10-30 00:23:46 Mamy: $ a_{n+1}- a_{n} = a^2_{n}-11a_{n}+30 = (a_{n}-5)(a_{n}-6) $ (1) $a_{n+1}-5 = a^2_{n}- 10a_{n}+25 = (a_{n}-5)^2 \leq 0 $ (2) $ a_{n+1}-6 = a^2_{n}- 10n +24 =(a_{n}-4)(a_{n}-6) $ (3) Wynika stąd, że niezależnie od wartości $ a_{0}$ dla wszystkich $ n\in N $ zachodzi nierówność $ a_{n}\geq 5.$ Jeśli $ a_{n}\geq 6$ to $ a_{n+1}\geq a_{n}\geq 6 $ więc (indukcja)$ a_{n}\geq a_{n}\geq a_{n+2}\geq...$ - ciąg $ (a_{n})$ jest niemalejący, zatem ma granicę (skończoną, lub nieskończoną). Jest tak, gdy $ a_{0}\geq 6.$ Wtedy $\lim_{n\to \infty}a_{n}\geq a_{0}$. Jeśli $ a_{0} = 6 $ to z (3) wynika, że $ a_{n} = 6$ więc $\lim_{n\to \infty} a_{n} =6.$. Jeśli $ a_{0}>6 $, to $\lim_{n\to \infty}a_{n} \geq a_{0}>6 $. Niech $ g =\lim_{n\to \infty} a_{n}.$ Otrzymujemy $ g =\lim_{n\to \infty} a_{n+1}= \lim_{n\to \infty}(a^2_{n} - 10n +30) = g^2 -10g +30.$ Więc, jeśli $ g\in R, $ to $ g = 5 $ lub $ g = 6 $ (wynika to z (1)) , wbrew temu, że $ g\geq a_{0}\geq 6 .$ Wobec tego $ g = +\infty. $ Jeśli $ 5 \leq a_{0} < 6 $ to z (1) i (3) wynika, że $ 5 \leq a_{1}\leq a_{0}< 6$ i dalej (indukcja) $ \leq a_{n}\leq a_{n-1}\leq ...\leq a_{1}\leq a_{0}< 6.$ Wobec tego ciąg $ (a_{n})$ ma granicę i $ 5\leq \lim_{n\to \infty} a_{n}\leq a_{0}< 6.$ Podobnie jak poprzednio stwierdzamy, że $\lim_{n\to \infty} a_{n}= 5 $ lub $\lim_{n\to \infty} a_{n} = 6.$ Co przeczy, że $ \lim_{n\to \infty} a_{n}< 6.$ Udowodniliśmy, tym samym, że $\lim_{n\to \infty} a_{n}= 5.$ Proponuję rozwiązanie podobnych zadań z podręcznika: J. Banaś, S. Wędrychowicz Zbiór zadań z Analizy Matematycznej. WNT strony 62-63. Warszawa 1996 |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj