logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4907

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

alekk97
postów: 14
2016-10-29 17:01:43

Niech $5\le a_{0}$ i $a_{n+1}=a_{n}^{2}-10 a_{n}+30$ dla $n=0,1,2...$ Wyjaśnić, czy ciąg $(a_{n})$ ma granicę i znaleźć ją, jeśli istnieje. Wynik może zależeć od $a_{0}$.

--------------------------------------------

1° $a_{0}=5$
Wtedy $a_{n}=5$
$\lim_{n \to \infty}a_{n}=5$

2° $a_{0}>5$
Wykresem $a_{n}^{2}-10 a_{n}+30$ jest parabola z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołkiem jest punk (5,5). Ponieważ $a_{0}>5$ to bierzemy pod uwagę tylko prawą połowę paraboli bez wierzchołka. Z wykresu widać, że ten ciąg jest nieograniczony, czyli $\lim_{n \to \infty}a_{n}=+\infty$


pm12
postów: 493
2016-10-29 20:24:51

Jesli a0 = 6, to nie jest prawdą, ze granica ciagu a_n to nieskonczonosc.

Wiadomość była modyfikowana 2016-10-31 02:56:19 przez pm12

janusz78
postów: 820
2016-10-30 00:23:46


Mamy:

$ a_{n+1}- a_{n} = a^2_{n}-11a_{n}+30 = (a_{n}-5)(a_{n}-6) $ (1)

$a_{n+1}-5 = a^2_{n}- 10a_{n}+25 = (a_{n}-5)^2 \leq 0 $ (2)

$ a_{n+1}-6 = a^2_{n}- 10n +24 =(a_{n}-4)(a_{n}-6) $ (3)

Wynika stąd, że niezależnie od wartości $ a_{0}$ dla wszystkich $ n\in N $ zachodzi nierówność $ a_{n}\geq 5.$

Jeśli $ a_{n}\geq 6$ to $ a_{n+1}\geq a_{n}\geq 6 $ więc (indukcja)$ a_{n}\geq a_{n}\geq a_{n+2}\geq...$ - ciąg $ (a_{n})$ jest niemalejący, zatem ma granicę (skończoną, lub nieskończoną).

Jest tak, gdy $ a_{0}\geq 6.$

Wtedy

$\lim_{n\to \infty}a_{n}\geq a_{0}$.

Jeśli $ a_{0} = 6 $ to z (3) wynika, że $ a_{n} = 6$ więc $\lim_{n\to \infty} a_{n} =6.$.

Jeśli $ a_{0}>6 $, to $\lim_{n\to \infty}a_{n} \geq a_{0}>6 $.

Niech $ g =\lim_{n\to \infty} a_{n}.$

Otrzymujemy

$ g =\lim_{n\to \infty} a_{n+1}= \lim_{n\to \infty}(a^2_{n} - 10n +30) = g^2 -10g +30.$

Więc, jeśli $ g\in R, $ to $ g = 5 $ lub $ g = 6 $ (wynika to z (1)) , wbrew temu, że $ g\geq a_{0}\geq 6 .$

Wobec tego $ g = +\infty. $

Jeśli $ 5 \leq a_{0} < 6 $ to z (1) i (3) wynika, że $ 5 \leq a_{1}\leq a_{0}< 6$ i dalej (indukcja) $ \leq a_{n}\leq a_{n-1}\leq ...\leq a_{1}\leq a_{0}< 6.$

Wobec tego ciąg $ (a_{n})$ ma granicę i $ 5\leq \lim_{n\to \infty} a_{n}\leq a_{0}< 6.$

Podobnie jak poprzednio stwierdzamy, że $\lim_{n\to \infty} a_{n}= 5 $ lub $\lim_{n\to \infty} a_{n} = 6.$

Co przeczy, że $ \lim_{n\to \infty} a_{n}< 6.$

Udowodniliśmy, tym samym, że $\lim_{n\to \infty} a_{n}= 5.$

Proponuję rozwiązanie podobnych zadań z podręcznika:

J. Banaś, S. Wędrychowicz Zbiór zadań z Analizy Matematycznej. WNT strony 62-63. Warszawa 1996

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj