Analiza matematyczna, zadanie nr 4913
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-11-01 08:08:36Jaki mo偶na poda膰 przyk艂ad funkcji $f$, kt贸ra ma w punkcie $a$ wszystkie pochodne kierunkowe, w kierunku dowolnego wektora $v\neq0$, funkcja $v \mapsto D_{v}f(a)$ jest liniowa i $f$ jest ci膮g艂a w punkcie $a$, ale nie jest w $a$ r贸偶niczkowalna? |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-01 11:54:15 Na przyk艂ad dla $ a = (x,y) = (0,0) $ funkcja $f : R^2 \rightarrow R $ dana wzorem: $ f(x,y)= \left\{\begin{matrix} x + y + \frac{x^3y}{x^{4}+y^{2}} \ \ \mbox{dla} \ \ x^2 + y^2 \neq 0, \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x^2 + y^2 = 0. \end{matrix} \right.$ Funkcja r贸偶niczkowalna w sensie s艂abym (Gateux), a nie r贸偶niczkowalna w sensie mocnym (Frecheta). Patrz na przyk艂ad Tomasz Szapiro Analiza Matematyczna Twierdzenia i zadania Wydanie II. Strona 114-116. SGPiS Warszawa 1977. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-01 11:58:59 przez janusz78 |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-01 18:58:28 Niestety nie umiem pokaza膰, ze ta funkcja jest ci膮g艂a w $(0,0)$. Pr贸bowa艂em przej艣膰 na biegunowe, ale te偶 nie da艂em rady. M贸g艂by艣 mi to rozpisa膰? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-01 19:56:13 Nie budzi chyba w膮tpliwo艣ci stwierdzenie $x^4-2x^2|y|+y^2\ge 0$ czyli $x^4+y^2\ge 2x^2|y| \ge 0$ $1 \ge \frac{2x^2|y|}{x^4+y^2} \ge 0$ $\frac{1}{2}|x| \ge \frac{|x|^3|y|}{x^4+y^2} \ge 0$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-01 20:17:34 Lub wykorzystuj膮c nier贸wno艣膰: $(x^2 -|y|)^2\geq 0 \rightarrow 2x^2|y|\leq x^4 +y^2, $ 艂atwo stwierdzi膰, 偶e $\left | \frac{x^2y}{x^4+y^2}\right|\leq \frac{1}{2}.$ St膮d mo偶na uzyska膰 potrzebne nam oszacowanie: $0\leq \left|x +y +\frac{x^3y}{x^4 +y^2}\right| \leq |x|+ |y|+ \left| \frac{x^3y}{x^4 +y^2}\right| \leq |x| +|y| +\frac{1}{2}|x|= \frac{3}{2}|x| +|y|.$ Wynika z niego, 偶e je艣li $ (x,y)\rightarrow (0,0),$ to tak偶e $ f(x, y) \rightarrow 0 = f(0,0),$ czyli funkcja $ f $ jest ci膮g艂a w punkcie $ (0, 0).$ |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-01 22:09:18 Bardzo dzi臋kuj臋, super wyt艂umaczone! |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj