logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4915

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamwik96
postów: 52
2016-11-01 11:59:52

Dana jest permutacja $\beta=(1, 5, 8)(2, 7, 19, 11)\in S_{20}$.
(a) Utwórz $<\beta>$
(b) Oblicz rzędy wszystkich elementów w $<\beta>$
(c) Wypisz wszystkie podgrupy $<\beta>$. Które z nich są podgrupami normalnymi?
(d) Utwórz grupę ilorazową $<\beta>/H$ gdzie H jest nietrywialną podgrupą $<\beta>$
(e) Podaj indeks podgrupy H w grupie $<\beta>$. Podaj $(\beta^4H)^{-1}$

Ogólnie to nie wiem jak zacząć zadanie, bo nie wiem co to jest "$<\beta>$" i jak ją się tworzy. I też nie wiem jak podać $(\beta^4H)^{-1}$.

Dziękuję za pomoc! :)


tumor
postów: 8070
2016-11-01 12:24:18

Ech ech.
a) $<\beta>$ to grupa permutacji generowanych przez $\beta$.
Tworzy się ją składając ze sobą permutację $\beta$. Składamy tak długo, aż otrzymamy tożsamość, czyli $\beta^n=id$
Wszystkie uzyskane w ten sposób permutacje $\beta, \beta^2, \beta^3,..,\beta^n$ tworzą grupę.

b) rząd elementu g to najmniejsza liczba naturalna (dodatnia) k taka, że $g^k=id$ (id to identyczność, permutacja tożsamościowa).
Innymi słowy w $<\beta>$ masz pewne permutacje. Dla każdej z nich zastanawiasz się, ile razy musisz ją złożyć z samą sobą, żeby uzyskać identyczność.

c) podgrupy grupy cyklicznej są cykliczne. Żeby je wypisać postępujemy jak w a), bierzemy jeden element z $<\beta>$ i składamy go do uzyskania identyczności. Uzyskane w ten sposób permutacje tworzą podgrupę wyjściowej grupy.

A w ogóle to nie było jakiejś algebry? Czegoś o grupach? Bo wiesz, fajnie, że masz zadanie z permutacji, ale trochę przeginasz wymagając, że ktoś powtórzy cały wykład z grup dlatego, że Ci się nie chce go pamiętać.

Podgrupa normalna ma wiele określeń równoważnych. Skorzystaj z tego, którym Ci się najłatwiej operuje.

d) podgrupa nietrywialna to nie $<id>$ i nie $<\beta>$, ale każda różna od tych dwóch.
Grupę ilorazową tworzy się wypisując warstwy względem podgrupy normalnej.

e) indeks podgrupy to liczba warstw podgrupy H w grupie $<\beta>$, będzie oczywiście zależny od grupy H jaką wybierzesz.
Polecam poszukać podgrupy, której rząd jest połową rzędu grupy. To ułatwi obliczenia.

jeśli H jest podgrupą, a g elementem grupy, to $gH$ jest warstwą, zbiorem elementów $gh$, gdzie $h\in H$.
Zapisu $(gH)^{-1}$ pewien nie jestem, może oznaczać elementy odwrotne do elementów gH.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj