Algebra, zadanie nr 4915
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
kamwik96 postów: 52 | 2016-11-01 11:59:52 Dana jest permutacja $\beta=(1, 5, 8)(2, 7, 19, 11)\in S_{20}$. (a) Utwórz $<\beta>$ (b) Oblicz rzędy wszystkich elementów w $<\beta>$ (c) Wypisz wszystkie podgrupy $<\beta>$. Które z nich są podgrupami normalnymi? (d) Utwórz grupę ilorazową $<\beta>/H$ gdzie H jest nietrywialną podgrupą $<\beta>$ (e) Podaj indeks podgrupy H w grupie $<\beta>$. Podaj $(\beta^4H)^{-1}$ Ogólnie to nie wiem jak zacząć zadanie, bo nie wiem co to jest "$<\beta>$" i jak ją się tworzy. I też nie wiem jak podać $(\beta^4H)^{-1}$. Dziękuję za pomoc! :) |
tumor postów: 8070 | 2016-11-01 12:24:18 Ech ech. a) $<\beta>$ to grupa permutacji generowanych przez $\beta$. Tworzy się ją składając ze sobą permutację $\beta$. Składamy tak długo, aż otrzymamy tożsamość, czyli $\beta^n=id$ Wszystkie uzyskane w ten sposób permutacje $\beta, \beta^2, \beta^3,..,\beta^n$ tworzą grupę. b) rząd elementu g to najmniejsza liczba naturalna (dodatnia) k taka, że $g^k=id$ (id to identyczność, permutacja tożsamościowa). Innymi słowy w $<\beta>$ masz pewne permutacje. Dla każdej z nich zastanawiasz się, ile razy musisz ją złożyć z samą sobą, żeby uzyskać identyczność. c) podgrupy grupy cyklicznej są cykliczne. Żeby je wypisać postępujemy jak w a), bierzemy jeden element z $<\beta>$ i składamy go do uzyskania identyczności. Uzyskane w ten sposób permutacje tworzą podgrupę wyjściowej grupy. A w ogóle to nie było jakiejś algebry? Czegoś o grupach? Bo wiesz, fajnie, że masz zadanie z permutacji, ale trochę przeginasz wymagając, że ktoś powtórzy cały wykład z grup dlatego, że Ci się nie chce go pamiętać. Podgrupa normalna ma wiele określeń równoważnych. Skorzystaj z tego, którym Ci się najłatwiej operuje. d) podgrupa nietrywialna to nie $<id>$ i nie $<\beta>$, ale każda różna od tych dwóch. Grupę ilorazową tworzy się wypisując warstwy względem podgrupy normalnej. e) indeks podgrupy to liczba warstw podgrupy H w grupie $<\beta>$, będzie oczywiście zależny od grupy H jaką wybierzesz. Polecam poszukać podgrupy, której rząd jest połową rzędu grupy. To ułatwi obliczenia. jeśli H jest podgrupą, a g elementem grupy, to $gH$ jest warstwą, zbiorem elementów $gh$, gdzie $h\in H$. Zapisu $(gH)^{-1}$ pewien nie jestem, może oznaczać elementy odwrotne do elementów gH. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj