Algebra, zadanie nr 4915
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kamwik96 post贸w: 52 |  2016-11-01 11:59:52Dana jest permutacja $\beta=(1, 5, 8)(2, 7, 19, 11)\in S_{20}$. (a) Utw贸rz $<\beta>$ (b) Oblicz rz臋dy wszystkich element贸w w $<\beta>$ (c) Wypisz wszystkie podgrupy $<\beta>$. Kt贸re z nich s膮 podgrupami normalnymi? (d) Utw贸rz grup臋 ilorazow膮 $<\beta>/H$ gdzie H jest nietrywialn膮 podgrup膮 $<\beta>$ (e) Podaj indeks podgrupy H w grupie $<\beta>$. Podaj $(\beta^4H)^{-1}$ Og贸lnie to nie wiem jak zacz膮膰 zadanie, bo nie wiem co to jest \"$<\beta>$\" i jak j膮 si臋 tworzy. I te偶 nie wiem jak poda膰 $(\beta^4H)^{-1}$. Dzi臋kuj臋 za pomoc! :) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-01 12:24:18 Ech ech. a) $<\beta>$ to grupa permutacji generowanych przez $\beta$. Tworzy si臋 j膮 sk艂adaj膮c ze sob膮 permutacj臋 $\beta$. Sk艂adamy tak d艂ugo, a偶 otrzymamy to偶samo艣膰, czyli $\beta^n=id$ Wszystkie uzyskane w ten spos贸b permutacje $\beta, \beta^2, \beta^3,..,\beta^n$ tworz膮 grup臋. b) rz膮d elementu g to najmniejsza liczba naturalna (dodatnia) k taka, 偶e $g^k=id$ (id to identyczno艣膰, permutacja to偶samo艣ciowa). Innymi s艂owy w $<\beta>$ masz pewne permutacje. Dla ka偶dej z nich zastanawiasz si臋, ile razy musisz j膮 z艂o偶y膰 z sam膮 sob膮, 偶eby uzyska膰 identyczno艣膰. c) podgrupy grupy cyklicznej s膮 cykliczne. 呕eby je wypisa膰 post臋pujemy jak w a), bierzemy jeden element z $<\beta>$ i sk艂adamy go do uzyskania identyczno艣ci. Uzyskane w ten spos贸b permutacje tworz膮 podgrup臋 wyj艣ciowej grupy. A w og贸le to nie by艂o jakiej艣 algebry? Czego艣 o grupach? Bo wiesz, fajnie, 偶e masz zadanie z permutacji, ale troch臋 przeginasz wymagaj膮c, 偶e kto艣 powt贸rzy ca艂y wyk艂ad z grup dlatego, 偶e Ci si臋 nie chce go pami臋ta膰. Podgrupa normalna ma wiele okre艣le艅 r贸wnowa偶nych. Skorzystaj z tego, kt贸rym Ci si臋 naj艂atwiej operuje. d) podgrupa nietrywialna to nie $<id>$ i nie $<\beta>$, ale ka偶da r贸偶na od tych dw贸ch. Grup臋 ilorazow膮 tworzy si臋 wypisuj膮c warstwy wzgl臋dem podgrupy normalnej. e) indeks podgrupy to liczba warstw podgrupy H w grupie $<\beta>$, b臋dzie oczywi艣cie zale偶ny od grupy H jak膮 wybierzesz. Polecam poszuka膰 podgrupy, kt贸rej rz膮d jest po艂ow膮 rz臋du grupy. To u艂atwi obliczenia. je艣li H jest podgrup膮, a g elementem grupy, to $gH$ jest warstw膮, zbiorem element贸w $gh$, gdzie $h\in H$. Zapisu $(gH)^{-1}$ pewien nie jestem, mo偶e oznacza膰 elementy odwrotne do element贸w gH. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj