Analiza matematyczna, zadanie nr 4928

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tomek987 postów: 103	2016-11-05 07:36:44 Funkcja, $f:R^{n}\rightarrow R$, różniczkowalna spełnia $\sum_{i=1}^{n}x_{i}\frac{df}{dx_{i}}(x)\ge0$ dla dowolnego $x\in R^{n}$. Udowodnij, że f jest ograniczona z dołu. Jak się zabrać za takie zadanie?

tumor postów: 8070	2016-11-05 09:02:00 niezerowy $x=[x_1,x_2,...,x_n]$ jest wektorem, być może nie unormowanym, niech $\|x\|$ oznacza jego normę. Będziemy mieć wówczas $\frac{1}{\|x\|}\sum x_i \frac{df}{dx_i}(x)\ge 0$ co oznacza pochodną kierunkową w x mierzoną w kierunku wyznaczonym przez x (związek pochodnej kierunkowej z gradientem) Funkcja f jest zatem ograniczona z dołu przez $c=f(0,0,...,0)$, gdyby w jakimś $x_0$ miała wartość mniejszą niż c, to istniałby punkt $dx_0, d\in (0,1)$ o ujemnej pochodnej kierunkowej w kierunku wyznaczonym przez $dx_0$

tomek987 postów: 103	2016-11-06 13:24:16 Dziękuję :)

tomek987 postów: 103	2016-11-11 13:34:34 Jeszcze chciałem tylko zapytać, czemu $d\in (0,1)$? Poza tym zapis $dx_{0}$ oznacza mnożenie $d*x_{0}$, tak?

tumor postów: 8070	2016-11-11 17:55:49 Tak. Przepraszam za użycie litery, która ma też inne znaczenie i może to mylić. Przedział (0,1) oznacza, że interesuje nas odcinek między środkiem układu a punktem x. Ogólnie odcinek między A i B to $t[a_1,a_2,...,a_k]+(1-t)[b_1,b_2,...,b_k]$ dla $t\in [0,1]$, bez końców będzie dla $t\in (0,1)$. Korzystamy tu z faktu, który jest bardzo łatwy dla funkcji jednej zmiennej. Jeśli a<b, f różniczkowalna i $f(a)>f(b)$, to w przedziale $(a,b)$, czyli inaczej na odcinku $ta+(1-t)b, t\in (0,1)$ istnieje punkt o ujemnej pochodnej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj