Analiza matematyczna, zadanie nr 4928
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-11-05 07:36:44Funkcja, $f:R^{n}\rightarrow R$, r贸偶niczkowalna spe艂nia $\sum_{i=1}^{n}x_{i}\frac{df}{dx_{i}}(x)\ge0$ dla dowolnego $x\in R^{n}$. Udowodnij, 偶e f jest ograniczona z do艂u. Jak si臋 zabra膰 za takie zadanie? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-05 09:02:00 niezerowy $x=[x_1,x_2,...,x_n]$ jest wektorem, by膰 mo偶e nie unormowanym, niech $|x|$ oznacza jego norm臋. B臋dziemy mie膰 w贸wczas $\frac{1}{|x|}\sum x_i \frac{df}{dx_i}(x)\ge 0$ co oznacza pochodn膮 kierunkow膮 w x mierzon膮 w kierunku wyznaczonym przez x (zwi膮zek pochodnej kierunkowej z gradientem) Funkcja f jest zatem ograniczona z do艂u przez $c=f(0,0,...,0)$, gdyby w jakim艣 $x_0$ mia艂a warto艣膰 mniejsz膮 ni偶 c, to istnia艂by punkt $dx_0, d\in (0,1)$ o ujemnej pochodnej kierunkowej w kierunku wyznaczonym przez $dx_0$ |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-06 13:24:16 Dzi臋kuj臋 :) |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-11 13:34:34 Jeszcze chcia艂em tylko zapyta膰, czemu $d\in (0,1)$? Poza tym zapis $dx_{0}$ oznacza mno偶enie $d*x_{0}$, tak? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-11 17:55:49 Tak. Przepraszam za u偶ycie litery, kt贸ra ma te偶 inne znaczenie i mo偶e to myli膰. Przedzia艂 (0,1) oznacza, 偶e interesuje nas odcinek mi臋dzy 艣rodkiem uk艂adu a punktem x. Og贸lnie odcinek mi臋dzy A i B to $t[a_1,a_2,...,a_k]+(1-t)[b_1,b_2,...,b_k]$ dla $t\in [0,1]$, bez ko艅c贸w b臋dzie dla $t\in (0,1)$. Korzystamy tu z faktu, kt贸ry jest bardzo 艂atwy dla funkcji jednej zmiennej. Je艣li a<b, f r贸偶niczkowalna i $f(a)>f(b)$, to w przedziale $(a,b)$, czyli inaczej na odcinku $ta+(1-t)b, t\in (0,1)$ istnieje punkt o ujemnej pochodnej. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj