Analiza matematyczna, zadanie nr 4929
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-11-05 08:29:14Dana jest powierzchnia: ${(x,y,z): \sqrt{x} + \sqrt{y}+ \sqrt{z}= \sqrt{a}}$ dla pewnego $a>0$. Udowodni膰, 偶e p艂aszczyzny, kt贸re s膮 styczne do danej powierzchni odcinaj膮 na osiach uk艂adu odcinki, kt贸rych suma d艂ugo艣ci jest sta艂a. Zapewne trzeba u偶y膰 tutaj gradientu, ale nie bardzo wiem jak. |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-05 11:47:42 Znajdujemy r贸wnanie p艂aszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie $ P_{0}= (x_{0}, y_{0}, z_{0}).$ $\pi: \vec{(P - P_{0})}\cdot \vec{N} = 0.$ gdzie: $ P_{0}= (x_{0}, y_{0},f(x_{0}, y_{0})).$ $P = (x , y,f(x, y))$ $\vec{N} = (-f_{|x}(x_{0},y_{0}), - f_{|y}(x_{0},y_{0}), 1)$ Obliczamy wsp贸艂rz臋dne punkt贸w przeci臋cia si臋 p艂aszczyzny $\pi$ z osiami kartezja艅skiego uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych $ Oxyz:$ $ P_{x}=(x,0,0), P_{y}= (0,y,0), P_{z}= (0,0,z).$ Pokazujemy, 偶e suma odcink贸w: $S =\overline{OP_{x}}+ \overline{OP_{y}} + \overline{OP_{z}}$ nie zale偶y od $ x,y,z$ tylko od ustalonego punku $ P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}).$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-05 11:49:35 przez janusz78 |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-06 11:01:26 A czym jest $O$ w $\vec{OP_{x}}$ |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-06 11:20:11 Napisze jak ja zacz膮艂em to robi膰 i do czego doszed艂em: $P_{0}=(\sqrt{x_{0}},\sqrt{y_{0}},\sqrt{z_{0}})$ takie, 偶e $P_{0}\in$ p艂aszczyzny danej w zadaniu. (grad f)=[$\frac{1}{2\sqrt{x}},\frac{1}{2\sqrt{y}}, \frac{1}{2\sqrt{z}} $] (grad f)($P_{0}$)= [$\frac{1}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}, \frac{1}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}, \frac{1}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}$] $\pi= \frac{x}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{z}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}= \frac{\sqrt{x_{0}}}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{\sqrt{y_{0}}}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{\sqrt{z_{0}}}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}$ $\pi=\frac{x}{2x_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{2y_{0}^{\frac{1}{4}}}+\frac{z}{2z_{0}^{\frac{1}{4}}}= \frac{x_{0}^{\frac{1}{4}}}{2}+\frac{y_{0}^{\frac{1}{4}}}{2}+\frac{z_{0}^{\frac{1}{4}}}{2}$ Teraz, 偶eby znale藕膰 punkt wsp贸lny tej p艂aszczyzny $\pi$ z osi膮 OX pod x normalnie x, pod y podstawiam 0 i pod z te偶 0. Potem analogicznie robi臋 tak dla punkt贸w wsp贸lnych z osi膮 OY i OZ. I co dalej? Czy tak jak zrobi艂em do tej pory jest dobrze? |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-06 12:40:39 Znajdujemy wsp贸艂rz臋dne wektora normalnego do p艂aszczyzny (nie gradientu) w punkcie $ P_{0}:$ $ \vec{N} = \left[ -\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}, -\frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}, 1 \right].$ R贸wnanie p艂aszczyzny stycznej w punkcie $ P_{0}$ do powierzchni: $\pi: \ \ z = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(x-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(y-y_{0}) $ (1) Podstawiamy do r贸wnania (1) wsp贸艂rz臋dne punkt贸w przeci臋cia si臋 p艂aszczyzny $\pi $ z osiami prostok膮tnego uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych $ Oxyz.$ Otrzymujemy: $Ox:$ $ 0 = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(x-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(-y_{0}) $ (2) $ Oy:$ $ 0 = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(y -y_{0}) $ (3) $ Oz: $ $ z = \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}}+ \sqrt{z_{0}}- \sqrt{a}+ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}(-x_{0}) + \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}(-y_{0}) $ (4) Z r贸wna艅 (2), (3) wyznaczamy odpowiednio $ x, y$ Obliczamy wsp贸艂rz臋dne odcink贸w: $\overline{OP_{x}} = [(x,0,0)-(0,0,0)]= [x,0,0]$ (4) $\overline{OP_{y}} = [(0,y,0)-(0,0,0)]= [0,y,0]$ (5) $\overline{OP_{z}} = [(0,0, z)-(0,0,0)]= [0,0,z]$(6) Dodajemy r贸wnania (4), (5), (6) stronami. Zauwa偶amy, 偶e ich suma zale偶y tylko od punktu $ P_{0}=(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ a nie zale偶y od $ x, y, z.$ Co mieli艣my udowodni膰. Proponuj臋 podobne zadania z ksi膮偶ki: Stanis艂aw Fudali, Mieczys艂aw K艂eczek Matematyka w przyk艂adach i zadaniach. Strony 320-326. Wydawnictwo Uniwersytetu Szczeci艅skiego. Szczecin 2001. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-06 13:24:39 Dzi臋kuj臋 :) |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-11 08:25:52 Czy zadanie to mo偶na rozwi膮za膰 w ten spos贸b: Bior臋 punkt $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ licz臋 gradient i p艂aszczyzna styczna ma w tym przypadku takie r贸wnanie: $\pi= \frac{x}{2\sqrt{x_{0}}}+\frac{y}{2\sqrt{y_{0}}}+\frac{z}{2\sqrt{z_{0}}}=\frac{\sqrt{x_{0}}}{2}+\frac{\sqrt{y_{0}}}{2}+\frac{\sqrt{z_{0}}}{2}$ Czyli $\pi= \frac{x}{\sqrt{x_{0}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{0}}}+\frac{z}{\sqrt{z_{0}}}=\sqrt{a}$ Bior臋 wsp贸艂rz臋dne przeci臋cia p艂aszczyzny stycznej z osiami uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych: $OX: \frac{x}{\sqrt{x_{0}}}=\sqrt{a}$ $OY: \frac{y}{\sqrt{y_{0}}}=\sqrt{a}$ $OX: \frac{z}{\sqrt{z_{0}}}=\sqrt{a}$ Czyli $OP_{x}=\sqrt{x_{0}a}$ $OP_{y}=\sqrt{y_{0}a}$ $OP_{z}=\sqrt{z_{0}a}$ Czyli suma ich d艂ugo艣ci to po prostu $a$? Czy takie rozwi膮zanie jest poprawne? Je艣li tak to czemu w moim rozwi膮zaniu i Twoim wychodzi inny wynik? Bardzo prosi艂bym o wyja艣nienie, bo chcia艂bym to zrozumie膰. P艂aszczyzny styczne to wa偶ny temat, z g贸ry dzi臋kuj臋 |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-11 18:54:35 Sk膮d takie r贸wnanie p艂aszczyzny stycznej? $\pi = ...$ |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-11 19:15:01 Obliczy艂em tak: $(grad f)=[\frac{1}{\sqrt{x}},\frac{1}{\sqrt{y}},\frac{1}{\sqrt{z}}] $ Podstawiam pod gradient punkt P. Nast臋pnie tworz臋 r贸wnanie, p艂aszczyzny stycznej, w kt贸rym wsp贸艂czynniki przy x,y,z to s膮 te warto艣ci gradientu w punkcie P. Po prawej stronie jest punkt, kt贸ry nale偶y do tej p艂aszczyzny, czyli pod x,y,z podstawi艂em punkt P. Tak przynajmniej liczyli艣my na zaj臋ciach powierzchni臋 styczn膮 |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-11 20:15:03 Otrzymujemy takie same r贸wnanie. Prawa strona r贸wnania jest iloczynem skalarnym gradientu w punkcie $ P_{0}$ i tego punktu, tak jak strona lewa wektora wodz膮cego dowolnego punktu $P(x,y,z)$ i wektora gradientu w tym punkcie. Dlatego Twoje r贸wnanie powinno wygl膮da膰 nast臋puj膮co: $ \pi: \frac{x}{2\sqrt{x_{0}}} + \frac{y}{2\sqrt{y_{0}}}+ \frac{z}{2\sqrt{z_{0}}} = \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}x_{0}+ \frac{1}{2\sqrt{y_{0}}}y_{0} + \frac{1}{2\sqrt{z_{0}}}z_{0}+\sqrt{a}$ Po przeniesieniu prawej strony na lew膮 i wy艂膮czeniu wsp贸lnych wsp贸艂czynnik贸w - otrzymujemy takie same r贸wnanie p艂aszczyzny stycznej (1). $ grad f(x, y, z)= \left[ \frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{1}{2\sqrt{y}}, \frac{1}{2\sqrt{z}}\right].$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-11 20:40:09 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj