Analiza matematyczna, zadanie nr 4934
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
tomek987 postów: 103 | 2016-11-06 14:03:12 Funkcja f: $R^{2}\rightarrow R$ ma następujące własności: 1) $\forall_{a\in R}$ funkcja $y\mapsto f(a,y)$ jest ciągła na R 2) $\forall_{a\in R}$ funkcja $x\mapsto f(x,a)$ jest funkcją zwężającą się (tzn. h:$R\mapsto R$ jest zwężająca, jeśli $\forall_{x,y\in R} |h(x)-h(y)|\le |x-y|$ Uzasadnić, że f jest funkcją ciągłą na $R^{2}$ |
tumor postów: 8070 | 2016-11-06 15:46:11 Ustalmy dowolnie $x_0,y_0$. Wystarczy pokazać, że dla każdego $\epsilon>0$ istnieje $\delta>0$, że jeśli $d((x_0,y_0),(x,y))<\delta$ to $d(f(x_0,y_0),f(x,y))<\epsilon$ Nieco to jeszcze zależy od metryki, ale możemy z korzystać z faktu, że pewne metryki (euklidesowa, maksimum, taksówkowa) są równoważne, czyli rachunki przeprowadzić dla najwygodniejszej (którą niekoniecznie jest euklidesowa). W ściślejszym zapisie sugeruję użyć taksówkowej oraz oczywiście $|f(x_0,y_0)-f(x,y)|= |f(x_0,y_0)-f(x_0,y)+f(x_0,y)-f(x,y)|$ |
janusz78 postów: 820 | 2016-11-06 16:20:11 Można też skorzystać z twierdzenia, o ciągłości funkcji dwóch zmiennych, spełniającej warunek Lipschitza ze stałą $ L=1.$ |
tomek987 postów: 103 | 2016-11-12 10:27:55 Tumor jest szansa, żebyś mi dokładnie krok po kroku rozpisał rozwiązanie? Przede wszystkim totalnie nie rozumiem co $y\mapsto f(a,y)$ i taki $x\mapsto f(x,a)$ napis oznaczają. |
tumor postów: 8070 | 2016-11-12 10:44:28 Jest dokładnie. Zapis $x \mapsto x^2$ znaczy prawie dokładnie to samo co $f(x)=x^2$ W drugim przypadku podajemy tylko nazwę dla naszej funkcji (jest nią f), a w pierwszym podajemy przepis, ale bez podania nazwy funkcji (co ma sens dla uproszczenia zapisu, jeśli ta nazwa do niczego nie jest potrzebna). Jeśli dana jest funkcja f dwuargumentowa, to $x\to f(x,a)$ oznacza tyle co $g(x)=f(x,a)$. Nie będę zaczynał od wyjaśnienia pojęcia granicy funkcji w przestrzeni metrycznej, bo od tego jest wykład i są podręczniki. Są metryki, są granice, jest ciągłość. Na tym forum znajdziesz też dowód równoważności pewnych metryk. Skorzystanie z niego pozwala dowodzić ciągłości z wykorzystaniem metryki prostszej w rachunkach. Ciągłość w pewnym punkcie mówi tyle, że jak małej (byle dodatniej) liczby sobie nie wymyślimy, istnieje otoczenie punktu, w którym wartości funkcji różnią się mniej niż o tę liczbę dodatnią. Tu pokazujemy to właśnie. Z góry zakładamy, że wartości funkcji mają się mieścić w pewnym przedziale i dobieramy argumenty tak, żeby się mieściły. Pokazujemy istnienie otwartego otoczenia punktu x, dla którego ten warunek jest spełniony. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj