Analiza matematyczna, zadanie nr 4934
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-11-06 14:03:12Funkcja f: $R^{2}\rightarrow R$ ma nast臋puj膮ce w艂asno艣ci: 1) $\forall_{a\in R}$ funkcja $y\mapsto f(a,y)$ jest ci膮g艂a na R 2) $\forall_{a\in R}$ funkcja $x\mapsto f(x,a)$ jest funkcj膮 zw臋偶aj膮c膮 si臋 (tzn. h:$R\mapsto R$ jest zw臋偶aj膮ca, je艣li $\forall_{x,y\in R} |h(x)-h(y)|\le |x-y|$ Uzasadni膰, 偶e f jest funkcj膮 ci膮g艂膮 na $R^{2}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-06 15:46:11 Ustalmy dowolnie $x_0,y_0$. Wystarczy pokaza膰, 偶e dla ka偶dego $\epsilon>0$ istnieje $\delta>0$, 偶e je艣li $d((x_0,y_0),(x,y))<\delta$ to $d(f(x_0,y_0),f(x,y))<\epsilon$ Nieco to jeszcze zale偶y od metryki, ale mo偶emy z korzysta膰 z faktu, 偶e pewne metryki (euklidesowa, maksimum, taks贸wkowa) s膮 r贸wnowa偶ne, czyli rachunki przeprowadzi膰 dla najwygodniejszej (kt贸r膮 niekoniecznie jest euklidesowa). W 艣ci艣lejszym zapisie sugeruj臋 u偶y膰 taks贸wkowej oraz oczywi艣cie $|f(x_0,y_0)-f(x,y)|= |f(x_0,y_0)-f(x_0,y)+f(x_0,y)-f(x,y)|$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-06 16:20:11 Mo偶na te偶 skorzysta膰 z twierdzenia, o ci膮g艂o艣ci funkcji dw贸ch zmiennych, spe艂niaj膮cej warunek Lipschitza ze sta艂膮 $ L=1.$ |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-12 10:27:55 Tumor jest szansa, 偶eby艣 mi dok艂adnie krok po kroku rozpisa艂 rozwi膮zanie? Przede wszystkim totalnie nie rozumiem co $y\mapsto f(a,y)$ i taki $x\mapsto f(x,a)$ napis oznaczaj膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-12 10:44:28 Jest dok艂adnie. Zapis $x \mapsto x^2$ znaczy prawie dok艂adnie to samo co $f(x)=x^2$ W drugim przypadku podajemy tylko nazw臋 dla naszej funkcji (jest ni膮 f), a w pierwszym podajemy przepis, ale bez podania nazwy funkcji (co ma sens dla uproszczenia zapisu, je艣li ta nazwa do niczego nie jest potrzebna). Je艣li dana jest funkcja f dwuargumentowa, to $x\to f(x,a)$ oznacza tyle co $g(x)=f(x,a)$. Nie b臋d臋 zaczyna艂 od wyja艣nienia poj臋cia granicy funkcji w przestrzeni metrycznej, bo od tego jest wyk艂ad i s膮 podr臋czniki. S膮 metryki, s膮 granice, jest ci膮g艂o艣膰. Na tym forum znajdziesz te偶 dow贸d r贸wnowa偶no艣ci pewnych metryk. Skorzystanie z niego pozwala dowodzi膰 ci膮g艂o艣ci z wykorzystaniem metryki prostszej w rachunkach. Ci膮g艂o艣膰 w pewnym punkcie m贸wi tyle, 偶e jak ma艂ej (byle dodatniej) liczby sobie nie wymy艣limy, istnieje otoczenie punktu, w kt贸rym warto艣ci funkcji r贸偶ni膮 si臋 mniej ni偶 o t臋 liczb臋 dodatni膮. Tu pokazujemy to w艂a艣nie. Z g贸ry zak艂adamy, 偶e warto艣ci funkcji maj膮 si臋 mie艣ci膰 w pewnym przedziale i dobieramy argumenty tak, 偶eby si臋 mie艣ci艂y. Pokazujemy istnienie otwartego otoczenia punktu x, dla kt贸rego ten warunek jest spe艂niony. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj