logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4934

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2016-11-06 14:03:12

Funkcja f: $R^{2}\rightarrow R$ ma następujące własności:

1) $\forall_{a\in R}$ funkcja $y\mapsto f(a,y)$ jest ciągła na R
2) $\forall_{a\in R}$ funkcja $x\mapsto f(x,a)$ jest funkcją zwężającą się (tzn. h:$R\mapsto R$ jest zwężająca, jeśli $\forall_{x,y\in R} |h(x)-h(y)|\le |x-y|$

Uzasadnić, że f jest funkcją ciągłą na $R^{2}$


tumor
postów: 8070
2016-11-06 15:46:11


Ustalmy dowolnie $x_0,y_0$.
Wystarczy pokazać, że dla każdego $\epsilon>0$ istnieje $\delta>0$, że jeśli
$d((x_0,y_0),(x,y))<\delta$ to $d(f(x_0,y_0),f(x,y))<\epsilon$

Nieco to jeszcze zależy od metryki, ale możemy z korzystać z faktu, że pewne metryki (euklidesowa, maksimum, taksówkowa) są równoważne, czyli rachunki przeprowadzić dla najwygodniejszej (którą niekoniecznie jest euklidesowa).

W ściślejszym zapisie sugeruję użyć taksówkowej oraz oczywiście
$|f(x_0,y_0)-f(x,y)|= |f(x_0,y_0)-f(x_0,y)+f(x_0,y)-f(x,y)|$




janusz78
postów: 820
2016-11-06 16:20:11

Można też skorzystać z twierdzenia, o ciągłości funkcji dwóch zmiennych, spełniającej warunek Lipschitza ze stałą $ L=1.$


tomek987
postów: 103
2016-11-12 10:27:55

Tumor jest szansa, żebyś mi dokładnie krok po kroku rozpisał rozwiązanie? Przede wszystkim totalnie nie rozumiem co $y\mapsto f(a,y)$ i taki $x\mapsto f(x,a)$ napis oznaczają.


tumor
postów: 8070
2016-11-12 10:44:28

Jest dokładnie.

Zapis $x \mapsto x^2$ znaczy prawie dokładnie to samo co
$f(x)=x^2$
W drugim przypadku podajemy tylko nazwę dla naszej funkcji (jest nią f), a w pierwszym podajemy przepis, ale bez podania nazwy funkcji (co ma sens dla uproszczenia zapisu, jeśli ta nazwa do niczego nie jest potrzebna).

Jeśli dana jest funkcja f dwuargumentowa, to
$x\to f(x,a)$ oznacza tyle co
$g(x)=f(x,a)$.

Nie będę zaczynał od wyjaśnienia pojęcia granicy funkcji w przestrzeni metrycznej, bo od tego jest wykład i są podręczniki. Są metryki, są granice, jest ciągłość. Na tym forum znajdziesz też dowód równoważności pewnych metryk. Skorzystanie z niego pozwala dowodzić ciągłości z wykorzystaniem metryki prostszej w rachunkach.

Ciągłość w pewnym punkcie mówi tyle, że jak małej (byle dodatniej) liczby sobie nie wymyślimy, istnieje otoczenie punktu, w którym wartości funkcji różnią się mniej niż o tę liczbę dodatnią. Tu pokazujemy to właśnie. Z góry zakładamy, że wartości funkcji mają się mieścić w pewnym przedziale i dobieramy argumenty tak, żeby się mieściły. Pokazujemy istnienie otwartego otoczenia punktu x, dla którego ten warunek jest spełniony.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj