Algebra, zadanie nr 4939
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| pm12 postów: 493 |  2016-11-07 10:56:13Rozstrzygnąć, czy następujące funkcje: x, sinx, cosx są liniowo niezależne. |
| tumor postów: 8070 | 2016-11-07 13:21:00 Można dość łatwo sprawdzić (na kilku przykładowych wartościach), że żadna z tych trzech funkcji nie jest kombinacją liniową dwóch pozostałych. No na przykład gdyby $sinx=a*x+b*cosx$ to podstawiając łatwe do liczenia $x_1, x_2$ moglibyśmy policzyć a i b. Jednakże zauważymy, że dla tych wyliczonych a,b wciąż lewa strona nie zawsze będzie równa prawej (czyli funkcja sinx nie jest kombinacją liniową dwóch pozostałych). Możemy też użyć metody ogólnej sprawdzania liniowej niezależności. Tworzymy macierz: w pierwszym wierszu funkcje, w drugim ich pierwsze pochodne, w trzecim drugie pochodne i tak aż macierz raczy być kwadratowa. Potem jej wyznacznik. $\left|\begin{matrix} x &sinx &cosx \\ 1 & cosx & -sinx\\ 0 & -sinx & -cosx \end{matrix}\right|= -xcos^2x-sinxcosx+sinxcosx-xsin^2x=-x$ Wyznacznikiem tej macierzy jest funkcja (tu g(x)=x). Jeśli ta funkcja nie jest równa 0 (czyli nie jest funkcją stałą o wartości 0 dla każdego x) to układ funkcji jest liniowo niezależny. |
| pm12 postów: 493 | 2016-11-07 16:44:06 Jeżeli ten wyznacznik jest równy zero, to nasz uklad nie jest liniowo niezależny, prawda ? Bo wtedy można dobrac niezerowa trójkę współczynników dającą w wyniku zero. Dobrze myślę ? Wiadomość była modyfikowana 2016-11-07 16:45:34 przez pm12 |
| pm12 postów: 493 | 2016-11-07 17:00:21 Czyli w ogólności, dla dowolnego x rzeczywistego, te funkcje nie są liniowo niezależne ? Wiadomość była modyfikowana 2016-11-07 17:01:42 przez pm12 |
| tumor postów: 8070 | 2016-11-07 17:14:00 Nie sprawdzamy niezależności liczb (wartości funkcji dla konkretnego x są liczbami). Sprawdzamy, czy niezależne są funkcje (są, jeśli żadna nie jest kombinacją liniową skończonej ilości pozostałych). Albo któraś jest, albo żadna nie jest. Odróżniaj, kiedy wykonujemy działania czy porównujemy elementy w przestrzeni liczb, a kiedy w przestrzeni funkcji. Wiadomość była modyfikowana 2016-11-07 17:21:09 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj