Algebra, zadanie nr 4939
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pm12 post贸w: 493 |  2016-11-07 10:56:13Rozstrzygn膮膰, czy nast臋puj膮ce funkcje: x, sinx, cosx s膮 liniowo niezale偶ne. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-07 13:21:00 Mo偶na do艣膰 艂atwo sprawdzi膰 (na kilku przyk艂adowych warto艣ciach), 偶e 偶adna z tych trzech funkcji nie jest kombinacj膮 liniow膮 dw贸ch pozosta艂ych. No na przyk艂ad gdyby $sinx=a*x+b*cosx$ to podstawiaj膮c 艂atwe do liczenia $x_1, x_2$ mogliby艣my policzy膰 a i b. Jednak偶e zauwa偶ymy, 偶e dla tych wyliczonych a,b wci膮偶 lewa strona nie zawsze b臋dzie r贸wna prawej (czyli funkcja sinx nie jest kombinacj膮 liniow膮 dw贸ch pozosta艂ych). Mo偶emy te偶 u偶y膰 metody og贸lnej sprawdzania liniowej niezale偶no艣ci. Tworzymy macierz: w pierwszym wierszu funkcje, w drugim ich pierwsze pochodne, w trzecim drugie pochodne i tak a偶 macierz raczy by膰 kwadratowa. Potem jej wyznacznik. $\left|\begin{matrix} x &sinx &cosx \\ 1 & cosx & -sinx\\ 0 & -sinx & -cosx \end{matrix}\right|= -xcos^2x-sinxcosx+sinxcosx-xsin^2x=-x$ Wyznacznikiem tej macierzy jest funkcja (tu g(x)=x). Je艣li ta funkcja nie jest r贸wna 0 (czyli nie jest funkcj膮 sta艂膮 o warto艣ci 0 dla ka偶dego x) to uk艂ad funkcji jest liniowo niezale偶ny. |
pm12 post贸w: 493 | 2016-11-07 16:44:06 Je偶eli ten wyznacznik jest r贸wny zero, to nasz uklad nie jest liniowo niezale偶ny, prawda ? Bo wtedy mo偶na dobrac niezerowa tr贸jk臋 wsp贸艂czynnik贸w daj膮c膮 w wyniku zero. Dobrze my艣l臋 ? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-07 16:45:34 przez pm12 |
pm12 post贸w: 493 | 2016-11-07 17:00:21 Czyli w og贸lno艣ci, dla dowolnego x rzeczywistego, te funkcje nie s膮 liniowo niezale偶ne ? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-07 17:01:42 przez pm12 |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-07 17:14:00 Nie sprawdzamy niezale偶no艣ci liczb (warto艣ci funkcji dla konkretnego x s膮 liczbami). Sprawdzamy, czy niezale偶ne s膮 funkcje (s膮, je艣li 偶adna nie jest kombinacj膮 liniow膮 sko艅czonej ilo艣ci pozosta艂ych). Albo kt贸ra艣 jest, albo 偶adna nie jest. Odr贸偶niaj, kiedy wykonujemy dzia艂ania czy por贸wnujemy elementy w przestrzeni liczb, a kiedy w przestrzeni funkcji. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-07 17:21:09 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj