Analiza matematyczna, zadanie nr 4955

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kingad postów: 3	2016-11-15 19:14:46 Wykorzystując zasadę indukcji matematycznej udowonić, że dla $n\in$ N a) liczba $2^{2^n}$-6 jest podzielna przez 10 , n$\ge$2 b) 2+$3^{n}$ $\ge$ $2^{n}$ + 3

tumor postów: 8070	2016-11-16 00:50:41 Dowód indukcyjny składa się z dwóch części. a) zaczynamy od sprawdzenia dla najniższego n. Tu n=2. $2^4-6=10$, jest to liczba podzielna przez 10. Następnie zakładamy, że dla pewnego n teza zachodzi i sprawdzamy, czy wobec tego musi zajść dla n+1. $2^{2^{n+1}}-6=2^{2^{n}2}-6=(2^{2^n})^2-6$ Jeśli teza zachodzi dla n, to liczba $2^{2^n}$ ma ostatnią cyfrę 6. Wzięta do kwadratu ma zatem także ostatnią cyfrę 6. Wobec tego teza zachodzi dla n+1. -- Drugą część można też uzasadnić tak: jeśli $2^{2^n}-6$ dzieli się przez 10, to $2^{2^n}-1$ dzieli się przez 5. Wobec tego $2^{2^{n+1}}-6=2^{2^{n}2}-6=2^{2^n}(2^{2^{n}}-6)+6(2^{2^{n}}-1)$ Pierwsza z liczb dzieli się przez 10 na mocy założenia, druga dzieli się przez 5 (co wynika z założenia) i przez 6, czyli także przez 10. b) zostawiam dla Ciebie. Najważniejsze to zrozumieć, o co chodzi.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj