Analiza matematyczna, zadanie nr 4979
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
pm12 postów: 493 | 2016-11-19 00:42:49 Zbadać zbieżność szeregu $\sum_{n=1}^{\infty}$($\sqrt[n]{2}-1$). |
tumor postów: 8070 | 2016-11-21 09:53:31 Dla ustalonego n mamy (z rozwinięcia $2^x$ w szereg Taylora) $2^\frac{1}{n}>1+ln2*\frac{1}{n}$ Wobec czego szereg z zadania rozbieżny na mocy porównawczego względem $ln2\sum \frac{1}{n}$ ----- Jak już znamy wynik, możemy rzecz rozwiązać bez szeregu Taylora. Pokażemy, że dla dodatnich x zachodzi $2^x-1>xln2$ (no i oczywiście wystarczy wtedy przyjąć $x=\frac{1}{n}$ dla rozwiązania zadania). $f(x)=2^x-1-xln2$ f(0)=0 $f`(x)=2^xln2-lnx$ co jest większe od 0 dla x>0, czyli f rosnąca, dla x dodatnich przyjmuje wartości dodatnie. Wiadomość była modyfikowana 2016-11-21 09:55:47 przez tumor |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj