logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4979

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 493
2016-11-19 00:42:49

Zbadać zbieżność szeregu $\sum_{n=1}^{\infty}$($\sqrt[n]{2}-1$).


tumor
postów: 8070
2016-11-21 09:53:31


Dla ustalonego n mamy (z rozwinięcia $2^x$ w szereg Taylora)
$2^\frac{1}{n}>1+ln2*\frac{1}{n}$

Wobec czego szereg z zadania rozbieżny na mocy porównawczego względem $ln2\sum \frac{1}{n}$


-----

Jak już znamy wynik, możemy rzecz rozwiązać bez szeregu Taylora.

Pokażemy, że dla dodatnich x zachodzi $2^x-1>xln2$ (no i oczywiście wystarczy wtedy przyjąć $x=\frac{1}{n}$ dla rozwiązania zadania).
$f(x)=2^x-1-xln2$
f(0)=0
$f`(x)=2^xln2-lnx$ co jest większe od 0 dla x>0, czyli f rosnąca, dla x dodatnich przyjmuje wartości dodatnie.

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-21 09:55:47 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj