Analiza matematyczna, zadanie nr 4985

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2016-11-20 21:00:09 Zbadać, dla jakich $\alpha \in R$ ciąg określony wzorem $a_{n}$ = $(1+\frac{\alpha}{n})^{n}$ jest niemalejący.

tumor postów: 8070	2016-11-21 08:46:55 Dla a=0 stały, dla a>0 korzystamy z nierówności między średnimi $\frac{x_1+...+x_{n+1}}{n+1}\ge \sqrt[n+1]{x_1...x_{n+1}}$ podstawiając $x_1=...=x_n=1+\frac{a}{n}$ oraz $x_{n+1}=1$ dostaniemy $\frac{n+1+a}{n+1}\ge (1+\frac{a}{n})^\frac{n}{n+1}$ a podnosząc stronami do potęgi n+1 dostajemy tezę No ale co z a<0? Zauważmy, że nierówności między średnimi dowodzimy dla liczb dodatnich. Jeśli a>-1 to dowód powyższy nadal się do niego stosuje, prawda? Jeśli $-1\ge a >-2$ to powyższy dowód da nam odpowiedź począwszy od n=2, a dla n=1 możemy porównać ręcznie. Jeśli $-2 \ge a >-3$ to już dwa wyrazy musimy porównać ręcznie. Jeśli $-3 \ge a$, to drugi wyraz jest dodatni, trzeci ujemny, wobec tego ciąg nie jest niemalejący. (Nie zmienia to jednakże faktu, że znów dla odpowiednio dużych n powyższy dowód będzie obowiązywać, czyli ciąg będzie rosnący od pewnego miejsca) Wiadomość była modyfikowana 2016-11-21 09:24:00 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj