logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4992

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

alekk97
postów: 14
2016-11-23 10:18:38

$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{7}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n-3} + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{2n})$

Nie umiem sobie poradzić z tym zadaniem, liczę na jakąś wskazówkę.


tumor
postów: 8085
2016-11-23 11:44:40

Zapewne wcześniej pojawiła się granica

$\frac{1}{1}-
\frac{1}{2}+
\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+
\frac{1}{5}-...-
\frac{1}{4n} \to ln2$

W naszym przykładzie ułamki z parzystym mianownikiem zapisujemy tak
$\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$

czyli dostaniemy
$1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}...$

Zauważamy, że się to nieco różni od szeregu dającego ln2.
No ale o ile się różni? co drugi parzysty mianownik powinniśmy zmniejszyć o 2, żeby otrzymać tamten szereg.

Różnica wynosi zatem
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{10}-\frac{1}{12})...=
\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\frac{1}{2}ln2$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj