logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4993

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

erudycyjna
postów: 1
2016-11-23 20:26:17

Proszę o pomoc w zadaniu.
Znajdź granicę ciągu
$a_{n}=\frac{ln n}{\sqrt[n]{n!}}$
Zastosuj twierdzenie Stolza.


tumor
postów: 8085
2016-11-23 23:16:40

mamy (dla parzystych n, dla nieparzystych z minimalną różnicą bez wpływu na dowód, no ale dla ścisłości popraw minimalnie, żeby się zgadzało):

$\sqrt[n]{1*2*...*\frac{n}{2}*(\frac{n}{2}+1)*...*(n-1)*n}\ge
\sqrt[n]{(\sqrt{\frac{n}{2}})^n}$

Mamy zatem
$0\le a_n \le \frac{ln n }{\sqrt{\frac{n}{2}}}$
i z twierdzenia Stolza wykażemy, że
$\frac{ln n }{\sqrt{\frac{n}{2}}} \to 0$.

$\frac{\sqrt{2}(ln(n+1)-lnn)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=
\frac{\sqrt{2}(ln\frac{n+1}{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=
\sqrt{2}(ln\frac{n+1}{n})n(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{\frac{1}{n}})=
\sqrt{2}ln(\frac{n+1}{n})^n(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}) \to \sqrt{2}lne*0=0$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 29 drukuj