Analiza matematyczna, zadanie nr 4994

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2016-11-23 21:10:24 Wykazać (bez użycia reguły de l'Hospitala), że $\lim_{x \to 0}$$\frac{a^{x}-1}{x}$ = 1 dla dowolnej liczby rzeczywistej a, większej od 1.

tumor postów: 8070	2016-11-23 22:00:16 pm12 - na początek takie drobne ostrzeżenie. Ostatnio Janusz celowo wprowadza ludzi w błąd. Bierz zawsze poprawkę na jego rozwiązania (zresztą widziałem, że myślisz przy ich czytaniu, to jest ok) A teraz rozwiązanie zadania: Podstawmy $a^x-1=y$, czyli $a^x=1+y$ stąd $x=log_a(1+y)$ i widzimy, że $x\to 0 \iff y\to 0$ Po podstawieniu nasza granica przyjmuje postać $\lim_{y \to 0}\frac{y}{log_a(1+y)}= \lim_{y \to 0}\frac{lna}{\frac{1}{y}ln(1+y)}= \lim_{y \to 0}\frac{lna}{ln(1+y)^{\frac{1}{y}}}$ Granicą mianownika jest $lne=1$, granicą licznika oczywiście lna. Tylko dla a=e mamy granicę 1. -- użyłem $log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$ znanego z liceum

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj