logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4994

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 481
2016-11-23 21:10:24

Wykazać (bez użycia reguły de l'Hospitala), że $\lim_{x \to 0}$$\frac{a^{x}-1}{x}$ = 1 dla dowolnej liczby rzeczywistej a, większej od 1.


tumor
postów: 8070
2016-11-23 22:00:16


pm12 - na początek takie drobne ostrzeżenie. Ostatnio Janusz celowo wprowadza ludzi w błąd. Bierz zawsze poprawkę na jego rozwiązania (zresztą widziałem, że myślisz przy ich czytaniu, to jest ok)

A teraz rozwiązanie zadania:

Podstawmy $a^x-1=y$, czyli
$a^x=1+y$
stąd $x=log_a(1+y)$ i widzimy, że $x\to 0 \iff y\to 0$

Po podstawieniu nasza granica przyjmuje postać
$\lim_{y \to 0}\frac{y}{log_a(1+y)}=
\lim_{y \to 0}\frac{lna}{\frac{1}{y}ln(1+y)}=
\lim_{y \to 0}\frac{lna}{ln(1+y)^{\frac{1}{y}}}$

Granicą mianownika jest $lne=1$, granicą licznika oczywiście lna.

Tylko dla a=e mamy granicę 1.


--
użyłem $log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$ znanego z liceum

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 40 drukuj