logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 4996

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karolinam
postów: 23
2016-11-24 12:18:43

Podaj przykład funkcji przekształcającej zbiór liczb naturalnych(z zerem) na zbiór:
a) liczb całkowitych
b) liczb wymiernych


karolinam
postów: 23
2016-11-24 12:30:38

Czy z N do Z może być funkcja:
\left\{\begin{matrix} a_{2n}=n \\ a_{2n+1}=-n \end{matrix}\right.


tumor
postów: 8070
2016-11-24 13:30:41

b)

sposobów wykonania zadania jest wiele. Narysuj układ współrzędnych. Punkty o współrzędnych (x,y) gdzie x jest całkowity (z zerem) a y naturalny dodatni odpowiadają liczbom wymiernym $\frac{x}{y}$. (Oczywiście wiele punktów odpowiada tej samej liczbie wymiernej, na przykład $\frac{1}{3}=\frac{222}{666}$)

Wystarczy zatem stworzyć funkcję z N na zbiór punktów o takich współrzędnych, czyli inaczej: ułożyć te punkty w ciąg.
Na przykład
$(0,1), (1,1), (0,2), (-1,1), (-2,1), (-1,2),(0,3),(1,2),(2,1),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4)$ i dalej już chyba wiesz jak iść (narysuj!). W ten sposób na i-tym miejscu ciągu znajduje się pewien punkt, czyli odpowiadająca mu liczba wymierna.

Graficznie można przedstawić wiele różnych dobrze określonych ciągów przebiegających wszystkie potrzebne punkty.


----
Trochę inaczej można robić tak:
Rozważmy funkcję:
$j:N\times Z\to Z$ daną wzorem:
$j(m,k)=2^m(2k+1)-1$ dla k nieujemnego i
$j(m,k)=2^m(2k+1)$ dla k ujemnego.

Oczywiście $2^m$ jest względnie pierwsze z $(2k+1)$, każdą liczbę całkowitą nieujemną c da zwiększyć o jeden i przedstawić w tej postaci:
$c+1=2^m(2k+1)$ dla m,k naturalnych (z zerem), a każdą całkowitą ujemną c w postaci $c=2^m(2k+1)$ gdzie k jest całkowite ujemne.
Ponadto oczywiście jeśli $(a,b)\neq (m,k)$, to wartości funkcji dla tych par są różne. Funkcja j jest bijekcją.

Wobec tego jest bijekcją $g=j^{-1}:Z\to N\times Z$.

dodajmy jeszcze funkcję $h:N\times Z \to Q$ daną wzorem
$h(a,b)=\frac{b}{a}$ gdy $a$ nie jest zerem, $h(a,b)=0$ gdy $a$ jest zerem. To suriekcja.

Szukaną suriekcją z N na Q jest wtedy złożenie
$h(g(f(n)))$ gdzie f jest funkcją z podpunktu a)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj