logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 4997

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-11-24 16:50:59

Ktoś pomoże? :
Jeśli G jest grupa abelową, to TorG < G .

czyli wiemy ze jesli G-abelowa-przemienna to:
-zachodzi łącznośc,
-ma el neutr,
-ma el odwrotny,
-zachodzi przemiennosc.
natomiast TorG :={g$\in$G: |g|<$\infty$}
czyli TorG < G to znaczy,że Tor G jest podgrupą G ?

i nie wiem od czego tu zacząć i wgl...



tumor
postów: 8085
2016-11-24 17:08:20

Tak, w zadaniu zapis < oznacza podgrupę.

Wystarczy pokazać, że TorG jest zbiorem zamkniętym na działanie grupy. Poniżej znajduje się rozwiązanie, ale lepiej samodzielnie sprawdź, czy TorG jest zbiorem zamkniętym na działanie w grupie, a do rozwiązania zajrzyj tylko by sprawdzić metodę.

--

Weźmy dwa elementy $a,b\in TorG$, czyli skończonych rzędów odpowiednio $m,n$, czyli $a^m=b^n=e$.

Niech teraz $d=NWW(m,n), d=km=ln.$

Wtedy $(ab)^d=(a^m)^k*(b^n)^l=e^k*e^l=e$
czyli element $ab$ ma skończony rząd, czyli $ab\in TorG$.



mate_matykaa
postów: 117
2016-11-24 20:35:34

czyli rza=m, rzb=n?


tumor
postów: 8085
2016-11-24 20:36:43

Tak. W treści zadania rząd jest opisany symbolem $|a|$.


mate_matykaa
postów: 117
2016-11-24 20:40:08

a czy zapis rz a= m to jest to samo co $a^{m}$ = e?


tumor
postów: 8085
2016-11-24 20:47:01

Nie do końca.

$rza=m$ oznacza, że m jest najmniejszą liczbą naturalną dodatnią, dla której zachodzi $a^m=e$ (element neutralny). Wobec tego gdy braliśmy dwa elementy a,b o skończonych rzędach, wiedzieliśmy, że odpowiednie m,n istnieją.

Natomiast może istnieć też inny wykładnik x taki, że $a^x=e$, ale nie jest on rzędem, jeśli nie jest najmniejszą liczbą naturalną dodatnią o tej własności.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj