logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 5003

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2016-11-26 23:58:00

W przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale [0,1] z metryką supremum rozpatrujemy zbiór A={f$\in C[0,1]$ $f(0)\le$ f(1/3)}

Znajdź domknięcie zbioru A.
Sprawdź zwartość K=A$\cap$ {f$\in$[0,1]: f([0,1])$\subset$[0,1]}.


tumor
postów: 8085
2016-11-27 00:59:19

Weźmy jakąś funkcję f ciągłą na $[0,1]$, która nie spełnia warunku, czyli $f(0)>f(\frac{1}{3})$ i niech
$r = \frac{1}{3}(f(0)-f(\frac{1}{3}))$

Wówczas jeśli g różni się od f o mniej niż r, to także $g(0)>g(\frac{1}{3})$

Czego to dowodzi?



tomek987
postów: 103
2016-11-27 08:26:55

Że funkcje, które, których wartość w zerze jest większa od wartości w $\frac{1}{3}$ nie przecinają zbioru A, czyli nie należą do domknięcia. Czyli domknięcie A to po prostu A. Dobrze rozumuje?

Jeśli mógłbym prosić o podpowiedź do drugiego zadania :)


tumor
postów: 8085
2016-11-27 09:06:15

Wzięliśmy funkcję z A` i pokazaliśmy, że pewne jej otoczenie o promieniu r również zawiera się w A`, czyli A` otwarty.

Przestrzeń K jest metryczna.
Gdyby była zwarta, byłaby zupełna. Możesz poszukać ciągu Cauchy'ego funkcji z K, którego granica nie należy do K. Brak zupełności dałby brak zwartości.

Inaczej: w przestrzeni zwartej każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny. Możesz poszukać ciągu funkcji K, którego żaden podciąg nie ma w sensie metryki supremum granicy. Jeśli znajdziesz, również nie będzie zwartości.

Jeśli nic Ci nie przychodzi do głowy, przypomnij sobie albo pooglądaj przykłady z analizy, gdzie się szukało granic ciągów funkcyjnych. Być może któryś ciąg daje się użyć albo nieco przerobić, żeby funkcje należały do K.


tomek987
postów: 103
2016-11-27 16:10:36

Zupełności jeszcze nie mieliśmy.

Może wziąć funkcję która w $f_{n}$, która jest równa 0 dla x$\in$[0,$\epsilon$], potem rośnie liniowo do 1 i osiąga jeden w x=$\frac{1}{3}$, potem znów liniowo maleje do 0 i już dla x$\in[\epsilon,1]$=0?


tumor
postów: 8085
2016-11-27 21:04:14

Bardzo ładnie.

Ja wymyśliłem zbliżony przykład, to znaczy
$f_n$ stale równa 1 w przedziale $[0,1-\frac{1}{n+1}]$,
potem maleje do
$f_n(1-\frac{1}{n+2})=0$ i dalej jest już równa 0.

Jeśli weźmiemy $m<n$ naturalne, to wtedy
$f_n(1-\frac{1}{n+1})=1$
$f_m(1-\frac{1}{n+2})=0$
Wobec tego $sup(f_n-f_m)=1$.
Taki ciąg funkcji nie ma żadnego podciągu spełniającego warunek Cauchy'ego, wobec tego żaden jego podciąg nie jest zbieżny (zbieżny spełniałby warunek Cauchy'ego).


---

To rozwiązanie, które dotyczy zupełności, da się zrozumieć bez tego pojęcia.

Tu przykładowy ciąg funkcji to $f_n(x)=\sqrt[n]{x}$.
To funkcje rosnące w $[0,1]$, oczywiście $f_n(0)=0$ oraz $f_n(1)=1$, czyli należą do K.
Jeśli przemyślisz, jaka funkcja f jest granicą (punktową) ciągu $f_n$, to wyjdzie
$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \mbox{ dla }x=0 \\ 1 \mbox{ dla }x\in (0,1] \end{matrix}\right.$

Gdyby przestrzeń K była zwarta, to ciąg $f_n$ zawierałby podciąg zbieżny (do elementu z K). Jeśli jednak funkcja $g\in K$ byłaby granicą tego podciągu, to byłaby granicą całego ciągu (jeśli podciąg ciągu Cauchy'ego ma granicę, to jest to granica całego ciągu). Wobec tego g=f. Ale $f\notin K$. Czyli nie użyłem samego pojęcia zupełności przestrzeni, ale wykorzystałem odpowiednie rozumowanie.



tomek987
postów: 103
2016-11-27 21:30:03

Ta druga część o wiele bardziej mi się podoba!

Bardzo dziękuję :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 31 drukuj