Topologia, zadanie nr 5003
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-11-26 23:58:00W przestrzeni funkcji ci膮g艂ych na przedziale [0,1] z metryk膮 supremum rozpatrujemy zbi贸r A={f$\in C[0,1]$ $f(0)\le$ f(1/3)} Znajd藕 domkni臋cie zbioru A. Sprawd藕 zwarto艣膰 K=A$\cap$ {f$\in$[0,1]: f([0,1])$\subset$[0,1]}. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-27 00:59:19 We藕my jak膮艣 funkcj臋 f ci膮g艂膮 na $[0,1]$, kt贸ra nie spe艂nia warunku, czyli $f(0)>f(\frac{1}{3})$ i niech $r = \frac{1}{3}(f(0)-f(\frac{1}{3}))$ W贸wczas je艣li g r贸偶ni si臋 od f o mniej ni偶 r, to tak偶e $g(0)>g(\frac{1}{3})$ Czego to dowodzi? |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-27 08:26:55 呕e funkcje, kt贸re, kt贸rych warto艣膰 w zerze jest wi臋ksza od warto艣ci w $\frac{1}{3}$ nie przecinaj膮 zbioru A, czyli nie nale偶膮 do domkni臋cia. Czyli domkni臋cie A to po prostu A. Dobrze rozumuje? Je艣li m贸g艂bym prosi膰 o podpowied藕 do drugiego zadania :) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-27 09:06:15 Wzi臋li艣my funkcj臋 z A` i pokazali艣my, 偶e pewne jej otoczenie o promieniu r r贸wnie偶 zawiera si臋 w A`, czyli A` otwarty. Przestrze艅 K jest metryczna. Gdyby by艂a zwarta, by艂aby zupe艂na. Mo偶esz poszuka膰 ci膮gu Cauchy\'ego funkcji z K, kt贸rego granica nie nale偶y do K. Brak zupe艂no艣ci da艂by brak zwarto艣ci. Inaczej: w przestrzeni zwartej ka偶dy ci膮g zawiera podci膮g zbie偶ny. Mo偶esz poszuka膰 ci膮gu funkcji K, kt贸rego 偶aden podci膮g nie ma w sensie metryki supremum granicy. Je艣li znajdziesz, r贸wnie偶 nie b臋dzie zwarto艣ci. Je艣li nic Ci nie przychodzi do g艂owy, przypomnij sobie albo poogl膮daj przyk艂ady z analizy, gdzie si臋 szuka艂o granic ci膮g贸w funkcyjnych. By膰 mo偶e kt贸ry艣 ci膮g daje si臋 u偶y膰 albo nieco przerobi膰, 偶eby funkcje nale偶a艂y do K. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-27 16:10:36 Zupe艂no艣ci jeszcze nie mieli艣my. Mo偶e wzi膮膰 funkcj臋 kt贸ra w $f_{n}$, kt贸ra jest r贸wna 0 dla x$\in$[0,$\epsilon$], potem ro艣nie liniowo do 1 i osi膮ga jeden w x=$\frac{1}{3}$, potem zn贸w liniowo maleje do 0 i ju偶 dla x$\in[\epsilon,1]$=0? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-11-27 21:04:14 Bardzo 艂adnie. Ja wymy艣li艂em zbli偶ony przyk艂ad, to znaczy $f_n$ stale r贸wna 1 w przedziale $[0,1-\frac{1}{n+1}]$, potem maleje do $f_n(1-\frac{1}{n+2})=0$ i dalej jest ju偶 r贸wna 0. Je艣li we藕miemy $m<n$ naturalne, to wtedy $f_n(1-\frac{1}{n+1})=1$ $f_m(1-\frac{1}{n+2})=0$ Wobec tego $sup(f_n-f_m)=1$. Taki ci膮g funkcji nie ma 偶adnego podci膮gu spe艂niaj膮cego warunek Cauchy\'ego, wobec tego 偶aden jego podci膮g nie jest zbie偶ny (zbie偶ny spe艂nia艂by warunek Cauchy\'ego). --- To rozwi膮zanie, kt贸re dotyczy zupe艂no艣ci, da si臋 zrozumie膰 bez tego poj臋cia. Tu przyk艂adowy ci膮g funkcji to $f_n(x)=\sqrt[n]{x}$. To funkcje rosn膮ce w $[0,1]$, oczywi艣cie $f_n(0)=0$ oraz $f_n(1)=1$, czyli nale偶膮 do K. Je艣li przemy艣lisz, jaka funkcja f jest granic膮 (punktow膮) ci膮gu $f_n$, to wyjdzie $f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \mbox{ dla }x=0 \\ 1 \mbox{ dla }x\in (0,1] \end{matrix}\right.$ Gdyby przestrze艅 K by艂a zwarta, to ci膮g $f_n$ zawiera艂by podci膮g zbie偶ny (do elementu z K). Je艣li jednak funkcja $g\in K$ by艂aby granic膮 tego podci膮gu, to by艂aby granic膮 ca艂ego ci膮gu (je艣li podci膮g ci膮gu Cauchy\'ego ma granic臋, to jest to granica ca艂ego ci膮gu). Wobec tego g=f. Ale $f\notin K$. Czyli nie u偶y艂em samego poj臋cia zupe艂no艣ci przestrzeni, ale wykorzysta艂em odpowiednie rozumowanie. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-11-27 21:30:03 Ta druga cz臋艣膰 o wiele bardziej mi si臋 podoba! Bardzo dzi臋kuj臋 :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj