logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5009

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zenek88
postów: 8
2016-11-28 23:02:34

Mam dwie proste:
$z_1(t)=2+(1+3i)t, z_2(l)=4+2i+( \frac{1}{3}+2i)l,

t, l \in R $.Jak znaleźć między nimi kąt oraz punkt, w którym się przecinają?


tumor
postów: 8085
2016-11-28 23:40:04


Taki zapis prostych umożliwia dość oczywiste stwierdzenie, do jakich wektorów równoległe są te proste.
Mianowicie mamy punkty $z_1(0)=2$
$z_1(1)=2+(1+3i)$, różnią się właśnie o ten nawias (1+3i), czyli o wektor [1,3].
Podobnie na drugiej prostej oczywiste punkty dadzą nam wektor $[\frac{1}{3},2]$

Mając dwa wektory możemy je normalizować (czyli podzielić przez ich długość, żeby uzyskać wektory o tym samym kierunku i zwrocie, ale o długości 1). Wówczas rozwiązanie uzyskamy iloczynem skalarnym.
$[a,b]\circ [c,d]=ac+bd=cos\alpha$ (cosinus kąta między wektorami).
Jeśli nie przeprowadzimy normalizacji na początku, to będziemy mieć wektory niekoniecznie długości 1, wtedy
$[a,b]\circ [c,d]=|[a,b]|*|[c,d]|cos\alpha$, gdzie $|[a,b]|$ oznacza długość wektora $[a,b]$.


----

Punkt należący do dwóch prostych spełnia równania obu.
Jeśli ma współrzędne (x,y), czyli jest liczbą x+yi, to musi istnieć rozwiązanie układu
$\left\{\begin{matrix} x+yi=2+t+3it \\ x+yi=4+\frac{1}{3}l+2i+2il \end{matrix}\right.$

czyli
$\left\{\begin{matrix} 2+t=4+\frac{1}{3}l \\ 3it=2i+2il \end{matrix}\right.$

Drugie równanie można oczywiście od razu skrócić przez i.
Jeśli wyznaczymy co najmniej jedną z niewiadomych t,l to już łatwo policzymy x,y


zenek88
postów: 8
2016-11-28 23:51:03

a mam pytanie ten kąt to jak wyznaczę w takim razie?


tumor
postów: 8085
2016-11-28 23:52:13

Może wyznaczysz cosinus kąta, a potem sprawdzisz, jakiemu odpowiada kątowi?


zenek88
postów: 8
2016-11-29 00:16:44

z tego wzoru $cos \phi =\frac{A_1A_2+B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 B_1^2}\sqrt{A_2^2 B_2^2}}$ mogę to wyznaczyć?


tumor
postów: 8085
2016-11-29 00:22:53

Jest to właśnie to, co napisałem. Z tą różnicą, że w mianowniku w pierwiastkach mają być plusy, a nie mnożenie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj