logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5015

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 511
2016-11-29 18:58:43

W przestrzeni liniowej $C^{n}$ dane są podprzestrzenie liniowe:

U = {$\vec{u} \in C^{n}$: $\sum_{i=1}^{n}$$u_{i}$ = 0}

V = {$\vec{v} \in C^{n}$: wszystkie współrzędne wektora $\vec{v}$ są sobie równe}

1) Wykazać, że $C^{n}$ = U $\oplus$V (czyli, że $C^{n}$ to suma prosta podprzestrzeni U oraz V).

2) Dla danego wektora $\vec{x} \in C^{n}$ wyznaczyć wektory $\vec{u} \in U$ oraz $\vec{v} \in V$, że $\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$.


tumor
postów: 8085
2016-11-29 19:31:42

1)
Dla dowolnego wektora $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ mamy sumę $s=x_1+x_2+...+x_n$, wobec czego niech $t=\frac{s}{n}$, wówczas
$x_u=(x_1-t,x_2-t,...,x_n-t)\subset U$. Oczywiście liczba $t$ jest wyznaczona jednoznacznie, zatem także $x_u$ jest wyznaczony jednoznacznie. Do tego $x_v=(t,t,t,...,t)\subset V$.

Zatem dowolny wektor $x\in C^n$ da się przedstawić tylko na jeden sposób jako suma wektorów $x_u+x_v$.

2) zrobiłem to mimochodem uzasadniając 1)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj