logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5016

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zenek88
postów: 8
2016-11-29 21:27:10

Jak policzyć taką granicę:
$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{\sqrt{3}}+{\frac{1}{3}i})^n$


tumor
postów: 8085
2016-11-29 21:34:51

Skorzystać z tego, że moduł iloczynu liczb zespolonych to iloczyn modułów.

Możesz zatem zacząć od tego, że się zastanowisz, jaką granicę ma ciąg modułów:
$
\lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}i|^n$

Proponuję ograniczyć to z odpowiedniej strony przez coś, co się łatwiej liczy.

----

Inaczej: możesz liczbę w nawiasie zapisać w postaci trygonometrycznej. Tę się akurat łatwo da. Postać trygonometryczna to iloczyn modułu i ciągu ograniczonego. Tak zapisaną granicę również liczy się łatwo.

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-29 21:35:41 przez tumor

zenek88
postów: 8
2016-11-29 21:40:53

no więc wychodzi mi $g=\frac{2}{3}$ czy to tak powinno wyjść?

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-29 21:41:46 przez zenek88

tumor
postów: 8085
2016-11-29 21:42:09

Taki wychodzi moduł liczby zespolonej. A w granicy jeszcze mamy do n-tej potęgi.


zenek88
postów: 8
2016-11-29 21:46:33

czyli $g=\frac{2}{3}< 1$ to g=0?


tumor
postów: 8085
2016-11-29 21:58:07

Tak. Rozpisując sposoby, które podałem:

1)
$0 \le \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}i|^n\le
\lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}|^n\le \lim_{n \to \infty}|0,99|^n =0$

albo

2)
$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}i)^n=
\lim_{n \to \infty}|\frac{2}{3}|^n (cosn\alpha+isinn\alpha)=0$

kąt $\alpha$ można sobie w razie chęci wyznaczyć, ale nie ma on wpływu na granicę, bo mamy iloczyn ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego, granica musi być 0.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj