Teoria liczb, zadanie nr 5018

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-11-30 18:57:13 Czy liczba 0,1234567891011... jest liczba wymierna czy niewymierna? Jest to liczba niewymierna, bo ma rozwiniecie nieskonczone nieokresowe. Czy takie uzasadnienie jest wystarczajace?

tumor postów: 8070	2016-11-30 19:05:28 Jest to wyjaśnienie prawdziwe. Wystarczy, o ile umiesz uzasadnić, że rozwinięcie na pewno jest nieokresowe.

geometria postów: 865	2016-12-01 13:41:39 A jak uzasadnic, ze rozwiniecie na pewno jest nieokresowe?

tumor postów: 8070	2016-12-01 14:29:53 Jak nie wiesz, to jak możesz sądzisz, że poprawnie odpowiadasz na pytanie? :) Gdybyśmy mieli okres o długości n cyfr, który się powtarza począwszy od m-tej cyfry rozwinięcia, to gdzieś tam, powyżej m-tej cyfry, pojawiałby się ciąg zer (na przykład pochodzący z liczby 1000...000) w którym zer byłoby co najmniej 2n. Wobec tego ten okres musiałby mieć postać samych zer, co oczywiście absurdalne, bo zaraz potem będzie 1000...001.

geometria postów: 865	2016-12-11 23:13:07 A czy dobrym uzasadnieniem byloby: zauwazmy, ze ciag za przecinkiem to kolejne liczby naturalne, ktorych jest nieskonczenie wiele i zadna z nich sie nie powtorzy, zatem jest to rozwiniecie nieskonczone nieokresowe ?

geometria postów: 865	2016-12-11 23:25:05 2. Czy podane liczby sa wymierne czy niewymierne? a) 1,2120120012000120000120000012... b) 0,149162536496481100121144196... c) 0,246816326412825651210242056... Liczby te sa niewymierne, bo ich rozwiniecia dziesietne sa nieskonczone i nieokresowe, gdyz: a) liczba zer po kazdej 12 zwieksza sie o 1 b) ciag za przecinkiem to drugie potegi kolejnych liczb naturalnych, ktorych jest nieskonczenie wiele i zadna z nich sie nie powtorzy c) ciag za przecinkiem to kolejne potegi dwojki, ktorych jest nieskonczenie wiele i zadna z nich sie nie powtorzy Czy takie uzasadnienia moga byc uznane za poprawne?

tumor postów: 8070	2016-12-12 08:55:01 Twoje uzasadnienie nie jest wystarczające. Bo oczywiście liczby 22,23 się już nie powtórzą, ale nastąpi gdzieś liczba 2223 albo 78387348438722239838947 które zawierają w sobie ciąg 2223. Chodzi o to, że jeśli wymieniamy tam wszystkie liczby naturalne, to także takie dłuższe niż okres (okres musi być skończonej długości). Wobec tego trafimy na przykład na ciąg samych zer o takiej długości, że okres musiałby być samymi zerami, ale trafimy też na ciąg samych jedynek tej długości etc. No i ważne: takie ciągi będą się w nieskończoność powtarzać, wobec czego rozwinięcie nie będzie okresowe od pewnego miejsca. 2 a) no i właśnie tu widać, że skoro liczba zer będzie coraz większa, to w końcu cały okres musiałby być zerami, a nie może być zerami, skoro pojawiają się też cyfry 1 i 2. b) nie jest wystarczającym argumentem, że nie powtórzy się żaden kwadrat. Teraz interesują nas CYFRY. A czy zagwarantujesz, że żaden kwadrat w przyszłości nie będzie się na przykład zaczynał od 491625...? Ale znów: skoro rozpatrujemy kwadraty, to także kwadraty liczb 100...000. Zatem w końcu w ciągu będą powtarzać się ciągi zer zawierające cały okres, z drugiej strony jednak wystąpią też inne cyfry, czyli okresu nie ma. c) tu także argument nie jest wystarczający. Nie ma znaczenia, czy żadna liczba się nie powtórzy! Ma znaczenie, czy powtórzą się ciągi cyfr. Popatrz: 12 1212 121212 12121212 1212121212 każda kolejna liczba powstaje z poprzedniej przez mnożenie przez 100 i dodanie 12. Oczywiście: żadna liczba w takim ciągu się nie powtórzy! A jednak jest liczbą wymierną 0,12121212121212...

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj