logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 5021

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-12-01 13:40:40

In=odcinek domkniety o koncach w (0,1) i $(\frac{1}{n},0).$ A=$\cup$ od n=1 do $\infty $ In.$ X=R^{2}$. Znalezc wnetrze A w X i domkniecie zbioru A w X.


tumor
postów: 8085
2016-12-01 14:26:09

Wnętrze jest puste. Jeśli weźmiesz koło (otwarte) o dowolnym środku i dodatnim promieniu, to nie może być ono zawarte w A (ścisły dowód można przeprowadzić np. rozważając, co się będzie dziać dla punktów należących do A, których pierwsza współrzędna jest wymierna.

Domknięcie zbioru A to zbiór $A\cup I_0$ gdzie $I_0$ to odcinek domknięty o końcach (0,0) i (0,1).
Żeby pokazać, że taki zbiór jest domknięty, pokazujemy, że jego dopełnienie jest otwarte. Że jest to najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty zawierający A dowodzimy pokazując, że każdy punkt odcinka $I_0$ ma w dowolnym swoim otoczeniu punkty należące do A.

No i uwaga techniczna, TEX pozwala pisać
$\bigcup_{n=1}^\infty I_n$, to lepsze niż opis słowny.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj