Inne, zadanie nr 5022
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mz93 post贸w: 1 |  2016-12-02 18:12:05Mam do rozwi膮zania nast臋puj膮ce zadanie: Niech $P^{\'}$ b臋dzie zbiorem funkcji $f$ postaci $f(z)= z+ \sum_{n=2}^{ \infty } a _{n} z^{n}$ dla kt贸rych $Re f^{\'}(z)>0$ , czyli $f^{\'}(z) \in P$. Wyka偶, 偶e wtedy $| a_{n}| \le \frac{2}{n}$. Czy ta nier贸wno艣膰 jest dok艂adna? Je艣li tak, to jak膮 posta膰 ma funkcja ekstremalna? $P$ jest to klasa, kt贸rej elementami s膮 funkcje $p(z)$ postaci $p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n} \Leftrightarrow p(0)=1$ oraz $ Rep(z)>0, z\inD, D= {z \in C:|z|<1}}$. Sprawdzamy czy $f^{\'}(z) \in P$. W tym celu obliczamy pochodn膮 z $f(z)$. Mamy $f^{\'}(z)=1+ \sum_{n=2}^{ \infty }n a_{n} z^{n-1}$. Rzeczywi艣cie $f^{\'}(0)=1$ oraz z za艂o偶enia $Re f^{\'}(z)>0$, czyli $f^{\'}(z) \in P$. Nie wiem jak pokaza膰, 偶e $| a_{n}| \le \frac{2}{n}$. Na wyk艂adzie mia艂am twierdzenie, kt贸re m贸wi艂o, 偶e je艣li $p \in P$ oraz $p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n}$, to $| c_{n}| \le 2, n=1,2,...$. Czy i w jaki spos贸b mo偶na je wykorzysta膰 w tym zadaniu? Nie mam pomys艂u... Co tzn., 偶e nier贸wno艣膰 jest dok艂adna i jak znale藕膰 funkcj臋 ekstremaln膮? Na wyk艂adzie by艂o podane tylko, 偶e funkcja ekstremalna jest to funkcja realizuj膮ca r贸wno艣膰 dla pewnych nier贸wno艣ci $ | a_{n}| \le n $. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj