logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 5022

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mz93
postów: 1
2016-12-02 18:12:05

Mam do rozwiązania następujące zadanie:
Niech $P^{'}$ będzie zbiorem funkcji $f$ postaci $f(z)= z+ \sum_{n=2}^{ \infty } a _{n} z^{n}$ dla których $Re f^{'}(z)>0$ , czyli $f^{'}(z) \in P$.
Wykaż, że wtedy $| a_{n}| \le \frac{2}{n}$. Czy ta nierówność jest dokładna? Jeśli tak, to jaką postać ma funkcja ekstremalna?


$P$ jest to klasa, której elementami są funkcje $p(z)$ postaci $p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n} \Leftrightarrow p(0)=1$ oraz $ Rep(z)>0, z\inD, D= {z \in C:|z|<1}}$.
Sprawdzamy czy $f^{'}(z) \in P$. W tym celu obliczamy pochodną z $f(z)$. Mamy
$f^{'}(z)=1+ \sum_{n=2}^{ \infty }n a_{n} z^{n-1}$. Rzeczywiście $f^{'}(0)=1$ oraz z założenia $Re f^{'}(z)>0$, czyli $f^{'}(z) \in P$.


Nie wiem jak pokazać, że $| a_{n}| \le \frac{2}{n}$. Na wykładzie miałam twierdzenie, które mówiło, że jeśli $p \in P$ oraz $p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n}$, to $| c_{n}| \le 2, n=1,2,...$. Czy i w jaki sposób można je wykorzystać w tym zadaniu? Nie mam pomysłu...


Co tzn., że nierówność jest dokładna i jak znaleźć funkcję ekstremalną? Na wykładzie było podane tylko, że funkcja ekstremalna jest to funkcja realizująca równość dla pewnych nierówności $ | a_{n}| \le n $.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj