logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5030

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-12-06 21:10:42

prosze o pomoc w rozwiązaniu.
Niech $\phi : G_{1}\rightarrow G_{2}$ bedzie homomorfizmem grup. Pokazać:
$\forall_{A,B\subset G_{1}, A,B\neq\emptyset} [\phi(A)=\phi(B) \iff AKer\phi=BKer\phi]$.

czyli wiem, że
z def homomorfizmu musi zachodzić warunek: $\forall_{a,b\in G_{1}} \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$
z def jądra homomorfizmu ker:
$ker\phi=${ $a\in G_{1}: \phi(a)=e'$ }, gdzie e' to el neutralny.

szczerze, to nie wiem jak to zastosować, trzeba jakos dowód robić w dwie strony?

albo moge np tak zrobic?
$\phi(A) \iff \phi(aa')=\phi(a)\phi(a')$
$\phi(B) \iff \phi(bb')=\phi(b)\phi(b')$
czyli z tego wynika, że
$\phi(aa')=\phi(bb')$ i $\phi(a)\phi(a')=\phi(b)\phi(b')$



tumor
postów: 8085
2016-12-06 21:23:31

Rzecz wynika z twierdzenia o izomorfizmie, to znaczy
$G/kerf \approx imf$

Zbiór warstw względem podgrupy kerf jest izomorficzny z grupą, która stanowi obraz.
Wobec tego jeśli $\phi(a)=\phi(b)$, to
$\phi^{-1}(\phi(a))=\phi^{-1}(\phi(b))$

przeciwobrazy w ostatnim zapisie są warstwami.




mate_matykaa
postów: 117
2016-12-06 21:43:52

a czy dałoby się troche jescze jaśniej, bo dalej nie za bardzo rozumiem.ogarniam 1,2,4 i 5 linijke...nie wiem co ma do tego przeciwobraz i gdzie stosuje to tw o izomorf.


tumor
postów: 8085
2016-12-06 21:49:54

To bywaj na zajęciach. Mam zrobić cały wykład? Mamy G grupę. Mamy H podgrupę normalną G. Możemy stworzyć grupę ilorazową G/H, w której skład wchodzą warstwy, czyli zbiory postaci $aH=\{ah:h\in H\}$. Jeśli $f:G\to G`$ jest homomorfizmem, to jego jądro kerf jest podgrupą normalną, a obraz imf jest grupą. Grupa G/kerf jest izomorficzna z grupą imf, o tym właśnie mówi twierdzenie o izomorfizmie. Wobec tego mamy wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między tymi grupami. Wobec tego obrazem warstwy w grupie G jest element grupy imf, a przeciwobrazem elementu grupy imf jest warstwa w grupie G.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 18 drukuj