Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5032

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kowalik90 postów: 57	2016-12-07 12:00:58 Proszę o pomoc w wyznaczeniu równania Bernoulliego, które spełnia podany warunek początkowy: $(1+x^2)'-2xy=4\sqrt{y(1+x^2)}arctgx, y(0)=0$.

kowalik90 postów: 57	2016-12-09 15:33:56 poprawiam powinno być: $(1+x^2)y'-2xy=4\sqrt{y(1+x^2)}arctgx, y(0)=0$.

janusz78 postów: 820	2016-12-11 13:28:56 $(1+x^2)y'-2xy = 4\sqrt{y(1+x^2)}arctg(x), \ \ y(0)=0.$ Dzielimy równanie przez $ (1+x^2).$ $ y' - \frac{2x}{1+x^2}y = 2\sqrt{y}\sqrt{1+x^2}\frac{2arctg(x)}{1+x^2}.$ Równanie Bernoulli rzędu $ \frac{1}{2}.$ Podstawiamy: $ \sqrt{y} = z>0 $ (0) $ y = z^2, \ \ y' = 2zz'.$ $2zz' - \frac{2x}{1+x^2}z^2 = 2z \sqrt{1+x^2}\frac{2arctg(x)}{1+x^2}\|:2z$ $ z' - \frac{2x}{1+x^2}\frac{z}{2}= \sqrt{1+x^2}\frac{2arctg(x)}{1+x^2} $ (1) Równanie (1) jest równaniem liniowym rzędu I - niejednorodnym. Do rozwiązania jego zastosujemy metodę uzmiennienia stałej. Najpierw znajdujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. $ z' - \frac{2x}{1+x^2}\frac{z}{2}= 0.$ Jest to równanie o zmienych rozdzielonych - rozdzielamy zmienne. $ \frac{dz}{z} = \frac{2x}{1+x^2}\frac{dx}{2}.$ Całkujemy obustronnie: $\int \frac{dz}{z} = \int \frac{2x}{1+x^2}\frac{1}{2}dx.$ $ ln(z) = \frac{1}{2}ln(1+x^2)+ ln A = ln(A\sqrt{1+x^2}).$ $ z = A\sqrt{1+x^2}.$ Uzmienniamy stałą A. Rozwiązanie ogólne równania (1) poszukujemy w postaci: $ z = A(x)\sqrt{1+x^2} $(2) Stąd $ z' = A'(x)\sqrt{1+x^2}+ A(x)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (3) Po podstawieniu równań (3), (2) do równania (1) $A'(x)\sqrt{1+x^2}+ \frac{A(x)x}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{A(x)x}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2}\frac{2 arctg(x)}{1+x^2}.$ $A'(x)\sqrt{1+x^2}= \sqrt{1+x^2}\frac{arctg(x)}{1+x^2}\|:\sqrt{1+x^2}.$ $A'(x) = \frac{2arctg(x)}{1+x^2}.$ $ A(x) = arctg^2(x) + C $ (4) Z (4) i (2) wynika, że rozwiązanie ogólne równania (1) $ z(x) = (arctg^2(x)+ C)\sqrt{1+x^2}$ (5) Z (5) i (0) otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania Bernoulli $ y(x) = (arctg^2(x) + C)^2 \cdot (1 + x^2).$ Proszę podstawić warunek początkowy i wyznaczyć stałą $C.$ Widać,że powinna być równa zeru.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj