Analiza matematyczna, zadanie nr 504

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2012-08-26 17:42:44 Znaleźć zbiór otwarty U, na którym funkcja f: $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dana wzorem f(x+iy) = -2\|xy\|+ i ($x^{2}-y^{2}$) jest holomorficzna.

tumor postów: 8070	2012-09-19 11:16:04 Rozważmy zbiór otwarty $U=\{x+yi: xy>0\}$ Wówczas $f(x+iy) = -2xy+ i(x^2-y^2)$ $\frac{df}{dx}= -2y+2xi$ $\frac{df}{dy}= -2x-2yi$ $\frac{df}{dx}= -i\frac{df}{dy}$ (Spełnione równanie Cauchy'ego-Riemanna) Rozważmy zbiór otwarty $V=\{x+yi: xy<0\}$ Wówczas $f(x+iy) = 2xy+ i(x^2-y^2)$ $\frac{df}{dx}= 2y+2xi$ $\frac{df}{dy}= 2x-2yi$ $\frac{df}{dx}\neq -i\frac{df}{dy}$ (Niespełnione równanie Cauchy'ego-Riemanna) Funkcja $f$ jest holomorficzna na $U$, bo ma ciągłe pochodne cząstkowe spełniające równanie Cauchy'ego-Riemanna. Nie jest holomorficzna dla punktów z $V$. Nie jest holomorficzna dla punktów $x+iy$ takich, że $xy=0$, bo musiałaby być holomorficzna w pewnych otoczeniach tych punktów, czyli także wewnątrz $V$. $U$ jest szukanym zbiorem otwartym.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj