Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5048
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / RozwiÄ…zanie |
milenkar90 postów: 4 |  2016-12-09 10:06:18Proszę o pomoc w wyznaczeniu rozwiązania ogólnego równania liniowego niejednorodnego: $y\'-y=2x^2-3e^{2x}$ |
janusz78 postów: 820 | 2016-12-10 16:07:24 $ y\' - y =2x^2 - 3e^{2x},$ (0) Metoda uzmiennienia stałej Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego $ y\" -y =0,$ $ y = e^{rx},$ $ re^{rx} - e^{rx} = 0,$ $ e^{rx}(r-1)= 0,$ $ r -1 =0, \ \ r =1.$ $y_{o}= Ce^{x}.$ Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego: $ y = C(x)e^{x}.$ (1) $ y\'= C\'(x)e^{x} + C(x)e^{x} $ (2) Podstawiamy (1) i (2) do (0) $ C\'(x)e^{x} + C(x)e{x} - C(x)e^{x} = 2x^2 - 3e^{2x},$ $C\'(x)e^{x} = 2x^2 - 3e^{2x} | \cdot e^{-x}$ $ C\'(x) = 2x^2 e^{-x}- 3e^{x}.$ $ C(x) = \int (2x^2 e^{-x}- 3e^{x})dx= I_{1} - I_{2}$ (4) Metoda dwukrotnego całkowania przez części: $I_{1} = \int 2x^2e^{-x}dx = \int 2x^2 (-e^{-x})\'dx = -2x^2 e^{-x}+ 4\int x e^{-x}dx = -2x^2 e^{-x} - 4\int x(e^{-x})\'dx = -2x^2 e^{-x}- 4xe^{-x} + 4\int e^{-x}dx = -2x^2 e^{-x} - 4xe^{-x} - 4e^{-x} + D $ (5) $ I_{2}= \int 3e^{x}dx = 3e^{x} + E $ (6) Z (4), (5), (6) $ C(x) = -2x^2 e^{-x}- 4xe^{-x} - 4e^{-x} - 3e^{x} + C , \ \ C = D - E $ (7) Z (7) i (1) rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego $ y = -2x^2 - 4x - 4 - 3e^{2x}+ Ce^{x}.$ Metoda przewidywania $ y\' - y = 2x^2, \ \ y\' - y = -3e^{2x}.$ Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci $ y_{1p}= ax^{2}+bx +c, \ \ y_{2p} = de^{2x}.$ $y\'_{1p} = 2ax +b \ \ y\'_{2p} = 2de^{2x}.$ $ 2ax + b - ax^2 -bx -c = 2x^2, \ \ 2de^{2x} - de^{2x}= -3e^{2x}.$ $-ax{2 }+ (2a - b)x + b-c = 2x^2, \ \ de^{x} = -3e^{2x}.$ Porównując współczynniki obu stron otrzymujemy: $ -a =2, \ \ 2a -b =0, \ \ b - c =0, \ \ d = -3.$ $ a = -2, b= -4, c = -4, \ \ d = -3.$ $ y_{s} = - 2x^2 - 4x - 4 - 3e^{2x}.$ Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania równania ogólnego jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: $ y = y_{0} + y_{s}.$ $ y = Ce^{x} -2x^2 - 4x - 4 - 3 e^{2x}.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj