logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5048

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

milenkar90
postów: 4
2016-12-09 10:06:18

Proszę o pomoc w wyznaczeniu rozwiązania ogólnego równania liniowego niejednorodnego:
$y'-y=2x^2-3e^{2x}$


janusz78
postów: 820
2016-12-10 16:07:24



$ y' - y =2x^2 - 3e^{2x},$ (0)


Metoda uzmiennienia stałej

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

$ y" -y =0,$

$ y = e^{rx},$

$ re^{rx} - e^{rx} = 0,$

$ e^{rx}(r-1)= 0,$

$ r -1 =0, \ \ r =1.$

$y_{o}= Ce^{x}.$

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

$ y = C(x)e^{x}.$ (1)

$ y'= C'(x)e^{x} + C(x)e^{x} $ (2)

Podstawiamy (1) i (2) do (0)

$ C'(x)e^{x} + C(x)e{x} - C(x)e^{x} = 2x^2 - 3e^{2x},$

$C'(x)e^{x} = 2x^2 - 3e^{2x} | \cdot e^{-x}$

$ C'(x) = 2x^2 e^{-x}- 3e^{x}.$

$ C(x) = \int (2x^2 e^{-x}- 3e^{x})dx= I_{1} - I_{2}$ (4)

Metoda dwukrotnego całkowania przez części:

$I_{1} = \int 2x^2e^{-x}dx = \int 2x^2 (-e^{-x})'dx = -2x^2 e^{-x}+ 4\int x e^{-x}dx = -2x^2 e^{-x} - 4\int x(e^{-x})'dx = -2x^2 e^{-x}- 4xe^{-x} + 4\int e^{-x}dx = -2x^2 e^{-x} - 4xe^{-x} - 4e^{-x} + D $ (5)

$ I_{2}= \int 3e^{x}dx = 3e^{x} + E $ (6)

Z (4), (5), (6)

$ C(x) = -2x^2 e^{-x}- 4xe^{-x} - 4e^{-x} - 3e^{x} + C , \ \ C = D - E $ (7)

Z (7) i (1) rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

$ y = -2x^2 - 4x - 4 - 3e^{2x}+ Ce^{x}.$

Metoda przewidywania

$ y' - y = 2x^2, \ \ y' - y = -3e^{2x}.$

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci

$ y_{1p}= ax^{2}+bx +c, \ \ y_{2p} = de^{2x}.$


$y'_{1p} = 2ax +b \ \ y'_{2p} = 2de^{2x}.$


$ 2ax + b - ax^2 -bx -c = 2x^2, \ \ 2de^{2x} - de^{2x}= -3e^{2x}.$

$-ax{2 }+ (2a - b)x + b-c = 2x^2, \ \ de^{x} = -3e^{2x}.$

Porównując współczynniki obu stron otrzymujemy:

$ -a =2, \ \ 2a -b =0, \ \ b - c =0, \ \ d = -3.$

$ a = -2, b= -4, c = -4, \ \ d = -3.$

$ y_{s} = - 2x^2 - 4x - 4 - 3e^{2x}.$

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania równania ogólnego jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
$ y = y_{0} + y_{s}.$

$ y = Ce^{x} -2x^2 - 4x - 4 - 3 e^{2x}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj