logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5065

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-12-12 10:40:58

Udowodnij, że jeśli macierz A jest diagonalnie silnie dominująca wierszowo to metoda Jacobiego zastosowana dla układu Ax=b jest zbiezna przy dowolnym wektorze początkowym x.


janusz78
postów: 820
2016-12-12 15:30:51

Z założenia i definicji macierzy silnie dominującej wierszowo wynika nierówność

$ |a_{ii}|> \sum_{j=1, j\neq i}^{n}|a_{ij}|$ (1)

Z równania Carla, Gustava Jacobi

$ \parallel I - Q^{-1}A \parallel_{\infty} = max_{1 \leq i \leq n}\sum_{j=1, j\neq i}^{n}\left|\frac{a_{ij}}{a_{ii}}\right|$ i z nierówności (1) wynika, że

$ \parallel I - Q^{-1}A \parallel_{\infty} < 1$ (2)

Z nierówności (2) i twierdzenia o zbieżności iteracyjnych metod rozwiązywania układów równań liniowych wynika, że metoda Jacobi jest zbieżna dla dowolnego wektora początkowego $
\vec{x_{0}}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj