Teoria liczb, zadanie nr 5067

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-12-12 22:03:58 Jak wykazac, ze rozwiniecie nieskonczone nieokresowe przedstawia liczbe niewymierna?

geometria postów: 865	2016-12-13 00:30:12 A jak udowodnic (korzystajac tylko z definicji liczby wymiernej), ze rozwiniecie nieskonczone okresowe przedstawia liczbe wymierna?

tumor postów: 8070	2016-12-13 09:02:54 Jeśli masz ułamek $\frac{p}{q}$ i dzielisz pisemnie, to do pewnego momentu (skończona ilość kroków, choć może zero) spisuje się kolejne cyfry liczby p. Potem przepisuje się już tylko zera. Skupimy się na tej części przy założeniu, że dzielenie przebiega w nieskończoność. Rozumiesz jak przebiega dzielenie. Mamy aktualną resztę z dzielenia, przepisujemy 0 (czyli mnożymy resztę przez 10) i sprawdzamy, ile razy dzielnik się w niej mieści, wpisujemy cyfrę rozwinięcia i otrzymujemy nową resztę z dzielenia przez dzielnik. Możliwych reszt z dzielenia przez liczbę q jest oczywiście q, są to $0,1,2,3,...,q-1$. Wobec tego najdalej po q krokach otrzymamy resztę, która już była, zatem i kolejne cyfry rozwinięcia będą się powtarzać i znów trafimy na tę samą resztę. Ułamek będzie miał rozwinięcie okresowe. -- W drugą stronę: załóżmy, że mamy rozwinięcie okresowe, czyli mamy jakąś liczbę $y=a_1....a_z,b_1....b_x(c_1...c_n)$ gdzie naszym okresem jest $c_1...c_n$. $a_i$ to cyfry przed przecinkiem, $b_i$ po przecinku ale poza okresem, $c_i$ należą do okresu. Długość okresu n. Możemy zatem naszą liczbę przedstawić jako sumę $y=a+c$, gdzie $a=a_1....a_z,b_1....b_x$ (liczba a jest wymierna, bo ma rozwinięcie skończone) $c=y-a$ (czyli tylko ta część okresowa). Jeśli teraz pomnożymy liczbę c przez $10^n-1$, otrzymamy liczbę wymierną o rozwinięciu skończonym. Czyli przed mnożeniem c też była wymierna, czyli y jako suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna. Powyższe pokazuje w dwie strony, że liczby wymierne, jeśli mają rozwinięcie nieskończone, to okresowe, a jeśli liczba ma rozwinięcie okresowe, to jest wymierna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj