Algebra, zadanie nr 5071

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
cybinka postów: 4	2016-12-15 14:09:42 Hej ^^ Mam za zadanie zbadać monotoniczność ciągu $a_{n}=\frac{5^{n}}{n!} $ Wiem że żeby zbadać tą monotoniczność muszę zastosować ,,wzór" $a_{n+1}-a_{n}$ Czyli wychodzi mi takie ładne równanko $\frac{5^{n+1}}{n+1!}- \frac{5^{n}}{n!}$ I dalej mam problem, żeby to ruszyć, wiem że musze do wspólnego mianownika to doprowadzić ale zupełnie nie wiem jak mam pomnożyć silnie przez potęgę. Z góry bardzo dziękuję za wytłumaczenie i pomoc ^^

tumor postów: 8070	2016-12-15 14:47:10 Zawsze przed zastosowaniem "wzoru" warto użyć pewnego ważnego organu. Załóżmy, że dla jakiegoś $n$ mamy $a_n=\frac{5^n}{n!}$. Zastanówmy się, jaki będzie wyraz $a_{n+1}$ w stosunku do $a_n$. Mniejszy? Większy? Równy? Żeby otrzymać $a_{n+1}$ za pomocą $a_n$ musimy licznik pomnożyć przez 5, mianownik przez $n+1$. Zwiększamy w ten sposób ułamek czy zmniejszamy? Zależy od $n$. Jeśli $n+1=5$, to nie ma żadnej różnicy, jeśli $5>n+1$ to zwiększyliśmy, jeśli $5<n+1$ to zmniejszyliśmy. To właśnie opis monotoniczności. Ale jeśli ktoś chce być kalkulatorem, a nie matematykiem, są jeszcze wzory. O sprowadzenie do wspólnego mianownika zapytajmy znajomego gimnazjalistę. On mówi: $\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{5^n}{n!}= \frac{5^{n}*5}{(n+1)!}-\frac{(n+1)5^n}{(n+1)!}= \frac{5^n(5-n-1)}{(n+1)!}$ odpowiedź taka jak wyszła z użycia mózgu. Wyrazy ciągu są dodatnie. Czasem wygodniej jest dzielić niż odejmować. Jeśli ciąg jest rosnący, to $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$. Jeśli malejący to $<1$. Tu będzie $\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}:\frac{5^n}{n!}=\frac{5}{n+1}$ i powtórnie ta sama odpowiedź.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj