Analiza matematyczna, zadanie nr 5087
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-12-17 22:10:48Czy zbi贸r A={$x\in R$ : $(f_{n}(x))$ jest zbie偶ny} jest borelowski? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-12-17 23:07:22 Zale偶y od ci膮gu funkcji $f_n$. Dowolny zbi贸r A mo偶na otrzyma膰 odpowiednio dobieraj膮c funkcje $f_n$. W szczeg贸lno艣ci niech dla ka偶dego n b臋dzie $f_n(x)=0$ gdy $x\in A$ oraz $(-1)^n$ gdy $x\notin A$. Przypuszczalnie Twoje polecenie jest niepe艂ne. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-12-19 17:43:46 Za艂o偶enie jest takie, 偶e funkcje s膮 ci膮g艂e. Odpowied藕 jest, ze A jest borelowski, tylko nie wiem jak to uzasadni膰 |
tumor post贸w: 8070 | 2016-12-19 18:33:31 Zbi贸r punkt贸w, w kt贸rych ci膮g jest zbie偶ny to $A=\{x: \forall_{k\in N}\exists_{p\in N}\forall_{n>p} \forall_{m>p} |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}=\bigcap_{k\in N}\bigcup_{p\in N}\bigcap_{n,m>p}\{x: |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}$ Natomiast jakie s膮 zbiory $\{x: |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{1}{k}\}$ przy ustalonych $n,m,k$? |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-12-19 19:12:37 S膮 to zbiory otwarte. Dobrze my艣l臋? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-12-19 19:21:55 Tak. To wypada udowodni膰, ale nie jest przesadnie trudne. Je艣li $f_n(x)$ i $f_m(x)$ r贸偶ni膮 si臋 o mniej ni偶 $\frac{1}{k}$ to tak偶e istnieje otoczenie U punktu x, 偶e dla ka偶dego $y\in U$ $f_n(y)$ i $f_m(y)$ r贸偶ni膮 si臋 o mniej ni偶 $\frac{1}{k}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj