Analiza matematyczna, zadanie nr 5096
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-12-19 19:17:06Jak wykaza膰, ze je艣li $A\subset R$nie jest miary zero, to dla ka偶dej liczby $b\in(0,1)$ istnieje przedzia艂 P t偶 miara zewn臋trzna Lebesque\'a z ($A\cap B$)$>c*$vol(P)? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-12-19 20:13:59 Rzecz wynika z definicji miary zewn臋trznej Lebesgue\'a (w nazwisku jest g, nie q). $\lambda^*(X)=inf \{\sum_{P_k\in S} vol(P_k):S \mbox{ jest przeliczaln膮 rodzin膮 przedzia艂贸w kt贸rej suma pokrywa } X\}$ Przypu艣膰my, 偶e istnieje liczba $c\in (0,1)$ dla kt贸rej nie istnieje przedzia艂 P taki, 偶e $\lambda^*(A\cap P)>c*vol (P)$ czyli dla ka偶dego przedzia艂u P jest $\lambda^*(A\cap P)\le c*vol (P)<(1-\frac{1}{m})vol(P)$ dla pewnego m naturalnego. Jednak偶e z definicji miary zewn臋trznej (skoro mamy infimum) wynika istnienie przeliczalnej rodziny S przedzia艂贸w parami roz艂膮cznych* takiej, 偶e $\lambda^*(A)>(1-\frac{1}{2m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)$ i suma S pokrywa A. Mamy $(1-\frac{1}{2m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)< \lambda^*(A\cap \bigcup S)\le \sum_{P_k\in S}\lambda^*(A\cap P_k)\le (1-\frac{1}{m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)$ --- * - definicja nie musi m贸wi膰 o roz艂膮czno艣ci przedzia艂贸w. 艁atwo jednak maj膮c przeliczaln膮 rodzin臋 przedzia艂贸w $S_1$ stworzy膰 rodzin臋 przeliczaln膮 $S_2$ przedzia艂贸w parami roz艂膮cznych. Szczeg贸艂y techniczne niepotrzebnie by zamota艂y w tym miejscu. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj