logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5096

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2016-12-19 19:17:06

Jak wykazać, ze jeśli $A\subset R$nie jest miary zero, to dla każdej liczby $b\in(0,1)$ istnieje przedział P tż miara zewnętrzna Lebesque'a z ($A\cap B$)$>c*$vol(P)?


tumor
postów: 8085
2016-12-19 20:13:59

Rzecz wynika z definicji miary zewnętrznej Lebesgue'a (w nazwisku jest g, nie q).

$\lambda^*(X)=inf \{\sum_{P_k\in S} vol(P_k):S \mbox{ jest przeliczalną rodziną przedziałów której suma pokrywa } X\}$

Przypuśćmy, że istnieje liczba $c\in (0,1)$ dla której nie istnieje przedział P taki, że
$\lambda^*(A\cap P)>c*vol (P)$
czyli dla każdego przedziału P jest
$\lambda^*(A\cap P)\le c*vol (P)<(1-\frac{1}{m})vol(P)$ dla pewnego m naturalnego.

Jednakże z definicji miary zewnętrznej (skoro mamy infimum) wynika istnienie przeliczalnej rodziny S przedziałów parami rozłącznych* takiej, że
$\lambda^*(A)>(1-\frac{1}{2m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)$
i suma S pokrywa A.

Mamy
$(1-\frac{1}{2m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)<
\lambda^*(A\cap \bigcup S)\le \sum_{P_k\in S}\lambda^*(A\cap P_k)\le (1-\frac{1}{m})\sum_{P_k\in S}vol(P_k)$


---
* - definicja nie musi mówić o rozłączności przedziałów. Łatwo jednak mając przeliczalną rodzinę przedziałów $S_1$ stworzyć rodzinę przeliczalną
$S_2$ przedziałów parami rozłącznych. Szczegóły techniczne niepotrzebnie by zamotały w tym miejscu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 26 drukuj