logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5097

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-12-21 10:51:21

witam, bardzo potrzebuje rozwiązania tych zadań, a nie ogarniam nawet jak zacząć.
1.udowodnić, ze każda grupa nieskończona zawiera nieskończenie wiele podgrup właściwych.
2.Załóżmy, że G jest grupą oraz N jej podgrupą normalną i cykliczną.Udowodnić, ze kazda podgrupa grupy N jest normalna w G.
3.Uzasadnic, ze grupy $(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R}_+,\cdot),(\mathbb{C}^*,\cdot)$ nie zawierają własciwych podgrup skonczonego indeksu.


tumor
postów: 8085
2016-12-21 11:33:51

Matematyka wymaga kreatywności. Twoim zadaniem nie jest umieć dowód, który ja zrobię, ale umieć wymyślać dowody. W ogóle dla pracy naukowej to jeszcze musisz samodzielnie tworzyć tezy, dla których potem samodzielnie stworzysz dowody.

1. Niech G jest grupą nieskończoną. Albo zawiera ona element g taki, że $g,g^2,g^3,g^4,...$ jest ciągiem nieskończonym o różnych wyrazach, albo nie zawiera takiego elementu.
W drugim przypadku oznacza to, że dla każdego g istnieje tylko skończenie wiele różnych elementów będących potęgami g (tworzą one podgrupę). Oczywiście skończona ilość skończonych zbiorów nie dałaby nieskończonej grupy, czyli takich podgrup jest nieskończona ilość.
W przypadku pierwszym mamy ciąg nieskończony różnowartościowy. Dla każdej liczby naturalnej $n\in N_+$ zbiór
$\{(g^n)^k:k\in N_0\}$ jest podgrupą grupy G, przy tym $g^0=e$



mate_matykaa
postów: 117
2016-12-21 19:35:24

ok,dzięki.
mam jeszce pytanie: co to znaczy że grupa jest skończenie generowana: bo mam jeszcze takie zadanie i cchaiłabym go zrozumiec i zrobic:
udowdonij, ze jezeli H jest podgrupa normalną grupy G i grupy H oraz G/H sa skończenie generowane, to grupa G jest sończenie generowana.
warunki na podgr normalna znam, a przy skończ gr geneoanej mam problem; czy jest tu jakis warunek na to? albo jakas podpowiedz do tego zad?


mate_matykaa
postów: 117
2016-12-21 19:37:45

G/H to est grupa ilorazowa??, czyli warunek: Ha*Hb=Hab ? i tutaj a,b$\in H czy \in G$?


mate_matykaa
postów: 117
2016-12-21 19:49:52

H<G i H$\subset G , H \subset G/H ? czyli \ elementy\ z\ H=<h_1,..,h_n>\subset w\ elementach\ z\ G/H $? czy całkiem to pomieszałam?


tumor
postów: 8085
2016-12-21 20:20:55

Grupa cykliczna to taka, że wszystkie elementy są potęgami jednego z elementów. Element ten nazywamy generatorem.
Innymi słowy każdy element grupy jest iloczynem skończenie wielu elementów $a$ lub $a^{-1}$.

Możemy rozszerzyć pojęcie grupy generowanej przez zbiór do zbiorów innych niż jednoelementowe. Niech dany będzie niepusty zbiór A. Grupą generowaną przez A nazwiemy grupę, której każdy element daje się przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów zbioru A lub ich odwrotności.
Inaczej: grupa generowana przez A to najmniejsza w sensie inkluzji grupa, która zawiera zbiór A. (równoważnie: to grupa, której żadna podgrupa właściwa nie zawiera A. Równoważnie: to przekrój wszystkich grup zawierających A) Przy tym z góry musi być określone działanie, które rozważamy.

Grupa skończenie generowana to taka, że zbiór generatorów A jest skończony.

$G/H$ to grupa ilorazowa.
Warunek $Ha*Hb=Hab$ opisuje tylko działanie w grupie ilorazowej. Iloczyn dwóch warstw wyznaczonych przez a,b to warstwa wyznaczona przez iloczyn ab. W tym zapisie $a,b\in G$.

Jeśli $H<G$ (H jest podgrupą grupy G) to zachodzi oczywiście $H\subset G$ (H jest podzbiorem zbioru G).
Natomiast zbiór G/H ma już inne elementy (warstwy).




mate_matykaa
postów: 117
2016-12-21 20:43:43

skoro H jest skonczenie generowana i G/H skon generowana, to od razu nie mozna stwierdzic ze G skonczenie generowana? bo inaczej tego nie widze...no nie wiem


tumor
postów: 8085
2016-12-22 13:23:03

Można, tylko czy to jakoś ściśle rozumiesz, czy tylko tak Ci się wydaje?

Jeśli H jest skończenie generowana, to znaczy, że każdy element $h\in H$ jest postaci $a_1a_2....a_n$ dla pewnego skończonego n (zależnego od h), gdzie $a_i \in A$ i A skończony.
Jeśli G/H skończenie generowana, to każdy element $gH\in G/H$ jest postaci
$b_1b_2...b_kH$, gdzie k zależy od $g, b_i\in B$ i B skończone.
Wobec tego, że każdy element $x\in G$ należy do pewnej warstwy, ma przedstawienie jako $b_1b_2...b_ka_1a_2....a_n$


mate_matykaa
postów: 117
2016-12-27 15:51:56

czy dowod zad 2 moze byc taki? :
Mamyudowodnic ze jakas podgrupa H grupy N jest podgrupą normalną w G.
czyli
H<N i N<G więc mamy juz od razu ze H<G, czyi starczy wykazać ten warunek na podgrupe normalną?
dla kazdego g należącego do G, dla każdego h należącego do H gh$g^{-1}$ należy do H.
ustalamy g należące do G, h należące do H
gh$g^{-1}$=hg$g^{-1}$=he=h a to należy do H więc H jest podgrupa normalną w G ?


mate_matykaa
postów: 117
2016-12-29 14:48:33

sprawdzi ktos?

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj