Algebra, zadanie nr 5097
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mate_matykaa post贸w: 117 |  2016-12-21 10:51:21witam, bardzo potrzebuje rozwi膮zania tych zada艅, a nie ogarniam nawet jak zacz膮膰. 1.udowodni膰, ze ka偶da grupa niesko艅czona zawiera niesko艅czenie wiele podgrup w艂a艣ciwych. 2.Za艂贸偶my, 偶e G jest grup膮 oraz N jej podgrup膮 normaln膮 i cykliczn膮.Udowodni膰, ze kazda podgrupa grupy N jest normalna w G. 3.Uzasadnic, ze grupy $(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R}_+,\cdot),(\mathbb{C}^*,\cdot)$ nie zawieraj膮 w艂asciwych podgrup skonczonego indeksu. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-12-21 11:33:51 Matematyka wymaga kreatywno艣ci. Twoim zadaniem nie jest umie膰 dow贸d, kt贸ry ja zrobi臋, ale umie膰 wymy艣la膰 dowody. W og贸le dla pracy naukowej to jeszcze musisz samodzielnie tworzy膰 tezy, dla kt贸rych potem samodzielnie stworzysz dowody. 1. Niech G jest grup膮 niesko艅czon膮. Albo zawiera ona element g taki, 偶e $g,g^2,g^3,g^4,...$ jest ci膮giem niesko艅czonym o r贸偶nych wyrazach, albo nie zawiera takiego elementu. W drugim przypadku oznacza to, 偶e dla ka偶dego g istnieje tylko sko艅czenie wiele r贸偶nych element贸w b臋d膮cych pot臋gami g (tworz膮 one podgrup臋). Oczywi艣cie sko艅czona ilo艣膰 sko艅czonych zbior贸w nie da艂aby niesko艅czonej grupy, czyli takich podgrup jest niesko艅czona ilo艣膰. W przypadku pierwszym mamy ci膮g niesko艅czony r贸偶nowarto艣ciowy. Dla ka偶dej liczby naturalnej $n\in N_+$ zbi贸r $\{(g^n)^k:k\in N_0\}$ jest podgrup膮 grupy G, przy tym $g^0=e$ |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-12-21 19:35:24 ok,dzi臋ki. mam jeszce pytanie: co to znaczy 偶e grupa jest sko艅czenie generowana: bo mam jeszcze takie zadanie i cchai艂abym go zrozumiec i zrobic: udowdonij, ze jezeli H jest podgrupa normaln膮 grupy G i grupy H oraz G/H sa sko艅czenie generowane, to grupa G jest so艅czenie generowana. warunki na podgr normalna znam, a przy sko艅cz gr geneoanej mam problem; czy jest tu jakis warunek na to? albo jakas podpowiedz do tego zad? |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-12-21 19:37:45 G/H to est grupa ilorazowa??, czyli warunek: Ha*Hb=Hab ? i tutaj a,b$\in H czy \in G$? |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-12-21 19:49:52 H<G i H$\subset G , H \subset G/H ? czyli \ elementy\ z\ H=<h_1,..,h_n>\subset w\ elementach\ z\ G/H $? czy ca艂kiem to pomiesza艂am? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-12-21 20:20:55 Grupa cykliczna to taka, 偶e wszystkie elementy s膮 pot臋gami jednego z element贸w. Element ten nazywamy generatorem. Innymi s艂owy ka偶dy element grupy jest iloczynem sko艅czenie wielu element贸w $a$ lub $a^{-1}$. Mo偶emy rozszerzy膰 poj臋cie grupy generowanej przez zbi贸r do zbior贸w innych ni偶 jednoelementowe. Niech dany b臋dzie niepusty zbi贸r A. Grup膮 generowan膮 przez A nazwiemy grup臋, kt贸rej ka偶dy element daje si臋 przedstawi膰 jako iloczyn sko艅czenie wielu element贸w zbioru A lub ich odwrotno艣ci. Inaczej: grupa generowana przez A to najmniejsza w sensie inkluzji grupa, kt贸ra zawiera zbi贸r A. (r贸wnowa偶nie: to grupa, kt贸rej 偶adna podgrupa w艂a艣ciwa nie zawiera A. R贸wnowa偶nie: to przekr贸j wszystkich grup zawieraj膮cych A) Przy tym z g贸ry musi by膰 okre艣lone dzia艂anie, kt贸re rozwa偶amy. Grupa sko艅czenie generowana to taka, 偶e zbi贸r generator贸w A jest sko艅czony. $G/H$ to grupa ilorazowa. Warunek $Ha*Hb=Hab$ opisuje tylko dzia艂anie w grupie ilorazowej. Iloczyn dw贸ch warstw wyznaczonych przez a,b to warstwa wyznaczona przez iloczyn ab. W tym zapisie $a,b\in G$. Je艣li $H<G$ (H jest podgrup膮 grupy G) to zachodzi oczywi艣cie $H\subset G$ (H jest podzbiorem zbioru G). Natomiast zbi贸r G/H ma ju偶 inne elementy (warstwy). |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-12-21 20:43:43 skoro H jest skonczenie generowana i G/H skon generowana, to od razu nie mozna stwierdzic ze G skonczenie generowana? bo inaczej tego nie widze...no nie wiem |
tumor post贸w: 8070 | 2016-12-22 13:23:03 Mo偶na, tylko czy to jako艣 艣ci艣le rozumiesz, czy tylko tak Ci si臋 wydaje? Je艣li H jest sko艅czenie generowana, to znaczy, 偶e ka偶dy element $h\in H$ jest postaci $a_1a_2....a_n$ dla pewnego sko艅czonego n (zale偶nego od h), gdzie $a_i \in A$ i A sko艅czony. Je艣li G/H sko艅czenie generowana, to ka偶dy element $gH\in G/H$ jest postaci $b_1b_2...b_kH$, gdzie k zale偶y od $g, b_i\in B$ i B sko艅czone. Wobec tego, 偶e ka偶dy element $x\in G$ nale偶y do pewnej warstwy, ma przedstawienie jako $b_1b_2...b_ka_1a_2....a_n$ |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-12-27 15:51:56 czy dowod zad 2 moze byc taki? : Mamyudowodnic ze jakas podgrupa H grupy N jest podgrup膮 normaln膮 w G. czyli H<N i N<G wi臋c mamy juz od razu ze H<G, czyi starczy wykaza膰 ten warunek na podgrupe normaln膮? dla kazdego g nale偶膮cego do G, dla ka偶dego h nale偶膮cego do H gh$g^{-1}$ nale偶y do H. ustalamy g nale偶膮ce do G, h nale偶膮ce do H gh$g^{-1}$=hg$g^{-1}$=he=h a to nale偶y do H wi臋c H jest podgrupa normaln膮 w G ? |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-12-29 14:48:33 sprawdzi ktos? |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj