logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5098

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-12-21 20:06:21

(znowu ja :) )
udowodnij ze dla dowolnej grupy G istnieje taki homomorfizm $\phi: G\rightarrow Aut(G)$, że Ker$\phi = Z(G)$
czyli ustalam $\phi \in Aut(G) , a,b\in G$
zachodzi homomorfizm gdy $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$
Z(G)={g$\in$ G: ga=ag $\forall_{a\in G}$}
$ker\phi=\{a\in G: \phi(a)=e\}$, e -el.neutralny Aut(G). tyle wiem, mam problem z"połączeniem tego w całosc"


tumor
postów: 8070
2016-12-22 13:39:44

$\phi(a)=f_a$
gdzie $f_a(g)=aga^{-1}$
czyli każdemu elementowi grupy przyporządkowujemy sprzężenie przez ten element.

Jeśli element a należy do $Z(G)$, to sprzężenie przez a ma postać
$f_a(g)=aga^{-1}=g(aa^{-1})=g$ czyli
$f_a=id$
Jeśli element a nie należy do $Z(G)$, to istnieje g takie, że $ag\neq ga$, czyli $f_a(g)\neq g = gaa^{-1}$, czyli $f_a\neq id$

Pozostaje sprawdzić to, od czego w sumie należało zacząć, czyli
$\phi(ab)=f_{ab}$
$f_{ab}(g)=abgb^{-1}a^{-1}=f_a(f_b(g))=f_a\circ f_b(g)$
$f_a\circ f_b=\phi(a)\circ \phi(b)$


mate_matykaa
postów: 117
2016-12-30 16:35:51

Dziekuje.:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 88 drukuj