Algebra, zadanie nr 5099
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pm12 post贸w: 493 |  2016-12-21 22:24:31W przestrzeni $C^{n}$ ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrze艅 V. Uk艂ad wektor贸w $\vec{v_{1}}$, ..., $\vec{v_{k}}$ jest baz膮 ortonormaln膮 podprzestrzeni V. Niech A = $\sum_{i=1}^{k}$ $\vec{v_{i}}$$\vec{v_{i}}^{H}$. 1) Pokaza膰, 偶e dla ka偶dego wektora $\vec{x}$ $\in$ $C^{n}$ zachodzi $P_{V}$ ($\vec{x}$) = A$\vec{x}$. 2) Jaki jest rz膮d macierzy A oraz im A oraz ker A ? |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-12-22 00:36:08 1). Poniewa偶 $ P_{V}(\vec{x})\in V, $ wi臋c pozostaje sprawdzi膰, 偶e $ \vec{x} - P_{V}(\vec{x})\perp V.$ Istotnie dla $ l = 1,2,..,k $ mamy $ (\vec{x} - P_{V}(\vec{x}))\cdot \vec{v_{l}} = (\vec{x} - \sum_{i=1}^{k}\vec{x}\vec{v_{i}}\vec{v_{i}^{H}})\cdot \vec{v_{l}}=\vec{x}\cdot \vec{v_{l}}- \sum_{i=1}^{k}(\vec{x}\vec{v_{i}})(\vec{v_{i}^{H}}\cdot \vec{v_{l}})= \vec{x}\cdot \vec{v_{l}}- \sum_{i=1}^{k}(\vec{x}\vec{v_{i}})\delta_{i}^{l} =\vec{x}\cdot \vec{v_{l}}-\vec{x}\cdot \vec{v_{l}} = 0 $ gdzie $\delta_{i}^{l} = \begin{cases} 1 \ \ \mbox{gdy} \ \ i=l\\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ i \neq l \end{cases}$ - delta Kroneckera. Stosuj膮c stwierdzenie: \"Je偶eli zbi贸r $\left\{\vec{v_{i}}\right\}$ rozpina podprzestrze艅 $ V\subset C^{n}$ oraz wector $\vec{x}\in V $ to $ \vec{x}\perp V $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \vec{x}\perp \vec{v_{i}}$ dla $ i \in I\"$ - dowodzimy r贸wno艣ci 1). My艣l臋, 偶e odpowiesz sobie samodzielnie na pytania zawarte w 2) jesli podpowiem, 偶e wyznacznik macierzy A (macierzy Gramma) w dowolnej bazie ortonormalnej jest r贸wny 1. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-12-22 00:39:31 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj