logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5099

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 511
2016-12-21 22:24:31

W przestrzeni $C^{n}$ ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrzeń V. Układ wektorów $\vec{v_{1}}$, ..., $\vec{v_{k}}$ jest bazą ortonormalną podprzestrzeni V.

Niech A = $\sum_{i=1}^{k}$ $\vec{v_{i}}$$\vec{v_{i}}^{H}$.

1) Pokazać, że dla każdego wektora $\vec{x}$ $\in$ $C^{n}$ zachodzi $P_{V}$ ($\vec{x}$) = A$\vec{x}$.

2) Jaki jest rząd macierzy A oraz im A oraz ker A ?


janusz78
postów: 820
2016-12-22 00:36:08

1).

Ponieważ $ P_{V}(\vec{x})\in V, $ więc pozostaje sprawdzić, że $ \vec{x} - P_{V}(\vec{x})\perp V.$

Istotnie dla $ l = 1,2,..,k $ mamy

$ (\vec{x} - P_{V}(\vec{x}))\cdot \vec{v_{l}} = (\vec{x} - \sum_{i=1}^{k}\vec{x}\vec{v_{i}}\vec{v_{i}^{H}})\cdot \vec{v_{l}}=\vec{x}\cdot \vec{v_{l}}- \sum_{i=1}^{k}(\vec{x}\vec{v_{i}})(\vec{v_{i}^{H}}\cdot \vec{v_{l}})= \vec{x}\cdot \vec{v_{l}}- \sum_{i=1}^{k}(\vec{x}\vec{v_{i}})\delta_{i}^{l} =\vec{x}\cdot \vec{v_{l}}-\vec{x}\cdot \vec{v_{l}} = 0 $

gdzie

$\delta_{i}^{l} = \begin{cases} 1 \ \ \mbox{gdy} \ \ i=l\\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ i \neq l \end{cases}$ - delta Kroneckera.

Stosując stwierdzenie:

"Jeżeli zbiór $\left\{\vec{v_{i}}\right\}$ rozpina podprzestrzeń $ V\subset C^{n}$ oraz wector $\vec{x}\in V $ to $ \vec{x}\perp V $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \vec{x}\perp \vec{v_{i}}$ dla $ i \in I"$ - dowodzimy równości 1).

Myślę, że odpowiesz sobie samodzielnie na pytania zawarte w 2) jesli podpowiem, że wyznacznik macierzy A (macierzy Gramma) w dowolnej bazie ortonormalnej jest równy 1.



Wiadomość była modyfikowana 2016-12-22 00:39:31 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 25 drukuj