logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5101

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-12-22 23:50:20

1. Dokoncz zdanie:
a) Zapis liczby $\frac{1}{40} $ w dowolnym systemie pozycyjnym jest...

a) wg mnie skonczony?


tumor
postów: 8085
2016-12-22 23:58:21

a możesz zapisać tę liczbę w systemie o podstawie 3?


geometria
postów: 854
2016-12-23 09:14:01

W systemie o podstawie 3 ta liczba ma postac 0,000200020002... czyli ten zapis nie jest skonczony w dowolnym systemie.

W dziesietnym jest skonczony, w innych jest okresowy zatem zapis ten jest skonczony lub okresowy?


tumor
postów: 8085
2016-12-23 09:41:14

W każdym systemie pozycyjnym liczba wymierna, jako wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych, będzie mieć rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe (bo jeśli rozumiesz na czym polega dzielenie pisemne - identyczne dla dowolnej podstawy, to wiesz, że pojawia się tam reszta z dzielenia, wobec skończonej ilości możliwych reszt z dzielenia musimy dojść do końca dzielenia lub do reszty, która już była, wobec czego pewien ciąg cyfr się powtórzy).

40 ma dzielniki pierwsze 2 i 5. Wystarcza, by podstawa systemu miała również te dwa dzielniki (może mieć i inne), by liczba $\frac{1}{40}$ miała rozwinięcie skończone. Jest zatem nieskończenie wiele możliwych podstaw, dla których rozwinięcie będzie skończone.

w drugą stronę, przyjmijmy że podstawa c jakiegoś systemu nie dzieli się przez 2 lub nie dzieli się przez 5.
Jeśli $\frac{1}{40}$ dałoby się zapisać z rozwinięciem skończonym, to znaczy, że istniałaby k-ta potęga liczby c taka, że
$\frac{1}{40}=\frac{d}{c^k}$, gdzie d jest całkowite. Jeśli jednak c nie dzieli się przez 2 lub 5, to niemożliwe jest
$c^k=40*d$, bo prawa strona przez 2 i 5 się dzieli.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj