logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5106

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-12-29 12:20:33

Niech f:[0,1]->R, f(x)=$\left\{\begin{matrix} e^{x} , x\in[0,1] \C \\sinx , x\in C \end{matrix}\right.$, gdzie C to zbiór Cantora. Wykazać, że f jest mierzalna w sensie Lebesgue'a.


janusz78
postów: 820
2016-12-29 15:35:41



Musimy najpierw pokazać, że zbiór $ \mathbb{Z} \setminus \mathbb{C} $ jest mierzalny jako różnica dwóch zbiorów mierzalnych.

Później udawadniamy, że funkcje $ exp(x), \ \ sin(x) $ określone na zbiorach mierzalnych są mierzalne.




brightnesss
postów: 113
2017-01-09 09:47:21

A jak udowodnić że funkcje na tych zbiorach są mierzalNe? Np exp (x), nie wiem jak się za to zabrać przez to ze tam mamy zbiór Cantora.


janusz78
postów: 820
2017-01-09 14:56:20

Zbiór Cantora jest zbiorem mierzalnym o mierze równej $ 0.$

Aby to wykazać korzystamy z twierdzenia:

" Jeżeli $ E, F $ są zbiorami mierzalnymi oraz $ E\subset F,$ to zbiór $ F- E $jest również zbiorem mierzalnym i $ |F- E| = |F|- |E|,$ jeżeli $ |E|<\infty."$

Dowód:

$ |C| = |<0,1> -\mathbb{O}| = 1 -|\mathbb{O}| = 1 - \sum_{p=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{2^{p-1}}I_{p,k} = 1 - \sum_{p=1}^{\infty}\frac{2^{p-1}}{3^{p}}= 1 - \frac{1}{3}\sum_{p=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{p-1}= 1 -1 =0.$

Co mieliśmy wykazać.

Mierzalność funkcji $ e^{x}, \ \ \sin(x)$ pokazujemy z definicji funkcji mierzalnej jednej zmiennej rzeczywistej.

Kiedy mówimy, że funkcja $ f $ jest funkcją mierzalną?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj