Analiza matematyczna, zadanie nr 5106
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
brightnesss post贸w: 113 |  2016-12-29 12:20:33Niech f:[0,1]->R, f(x)=$\left\{\begin{matrix} e^{x} , x\in[0,1] \C \\sinx , x\in C \end{matrix}\right.$, gdzie C to zbi贸r Cantora. Wykaza膰, 偶e f jest mierzalna w sensie Lebesgue\'a. |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-12-29 15:35:41 Musimy najpierw pokaza膰, 偶e zbi贸r $ \mathbb{Z} \setminus \mathbb{C} $ jest mierzalny jako r贸偶nica dw贸ch zbior贸w mierzalnych. P贸藕niej udawadniamy, 偶e funkcje $ exp(x), \ \ sin(x) $ okre艣lone na zbiorach mierzalnych s膮 mierzalne. |
brightnesss post贸w: 113 | 2017-01-09 09:47:21 A jak udowodni膰 偶e funkcje na tych zbiorach s膮 mierzalNe? Np exp (x), nie wiem jak si臋 za to zabra膰 przez to ze tam mamy zbi贸r Cantora. |
janusz78 post贸w: 820 | 2017-01-09 14:56:20 Zbi贸r Cantora jest zbiorem mierzalnym o mierze r贸wnej $ 0.$ Aby to wykaza膰 korzystamy z twierdzenia: \" Je偶eli $ E, F $ s膮 zbiorami mierzalnymi oraz $ E\subset F,$ to zbi贸r $ F- E $jest r贸wnie偶 zbiorem mierzalnym i $ |F- E| = |F|- |E|,$ je偶eli $ |E|<\infty.\"$ Dow贸d: $ |C| = |<0,1> -\mathbb{O}| = 1 -|\mathbb{O}| = 1 - \sum_{p=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{2^{p-1}}I_{p,k} = 1 - \sum_{p=1}^{\infty}\frac{2^{p-1}}{3^{p}}= 1 - \frac{1}{3}\sum_{p=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{p-1}= 1 -1 =0.$ Co mieli艣my wykaza膰. Mierzalno艣膰 funkcji $ e^{x}, \ \ \sin(x)$ pokazujemy z definicji funkcji mierzalnej jednej zmiennej rzeczywistej. Kiedy m贸wimy, 偶e funkcja $ f $ jest funkcj膮 mierzaln膮? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj