logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5108

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-12-30 16:29:19

1.Udowodnić, że dla każdego $n\in \mathbb{N}_+, $grupa $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$zawiera dokładnie jedną podgrupę rzędu n.
2. Załóżmy, że G jest grupą, której rząd jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych. udowodnić, że:
a) każda podgrupa właściwa grupy G jest cykliczna,
b) jeżeli G jest przemienna, to jest cykliczna i podac przykład pokazujący istotnosc założenia przemienności.
c) jeżeli G nie jest przemienna, to |Z(G)|=1.
3.Udowodnić, że dla każdego$n \ge 2$ i każdego $k \in \{1,...,n\},$ grupa $S_n$ zawiera podgrupę rzędu (n-k)!

Prosze o pomoc i z góry dziękuje za rozwiązania! :) Baardzo mi potrzebne to jest, a już siedzę z tymi zad tygodnie i nic nie wymyślam...



mate_matykaa
postów: 117
2017-01-01 16:02:36

ktos coś pomoże?


tumor
postów: 8085
2017-01-02 10:12:13

1.
Grupa Q/Z to zbiór liczb wymiernych z przedziału [0,1) z działaniem
$a\#b=a+b-[a+b]$
gdzie $[]$ oznacza całość.

Należy pokazać, że w zbiorze $Q\cap [0,1)$ istnieje tylko jeden n-elementowy podzbiór zamknięty na działanie #.
Wygodnie zrobić to rozważając podzbiór do którego należy $\frac{p}{q}$ dla $0<p<q$ i $NWD(p,q)=1$




tumor
postów: 8085
2017-01-02 10:38:23

2.
a)
rząd podgrupy właściwej jest liczbą pierwszą.
Weźmy dowolny element, który nie jest neutralny i wszystkie jego naturalne potęgi. Jeśli w ten sposób nie uzyskamy podgrupy, to podgrupa ma podgrupę właściwą, ale podgrupa rzędu pierwszego nie ma nietrywialnych podgrup właściwych.
(rząd podgrupy dzieli rząd grupy)

b) w grupie przemiennej każdy element g będzie miał jednoznaczne (co do kolejności) przedstawienie w postaci ab gdzie a,b są elementami obu podgrup cyklicznych wspomnianych wyżej, czyli
$ab=h^xk^y$
Wobec tego $g\to (x,y)$ jest izomorfizmem G z $Z_p+Z_q$
jeśli jednak ab będzie różna od ba, to znajdziesz kontrprzykład dla cykliczności (szukaj w permutacjach albo macierzach, tam, gdzie są dość oczywiste nieprzemienności)

c) załóż, że jakiś element poza neutralnym należy do centrum i dojdź do wniosku, że G musi być przemienna (posiłkuj się a)b))

3.
Olaboga. Masz permutacje zbioru n-elementowego. Rozważ wszystkie populacje z k ustalonych punktów stałych. Takie permutacje tworzą grupę izomorficzną z grupą permutacji n-k elementowych


---

Nad zadaniem nie siedzi się, tylko się myśli. Ja znam studentów i nie widuję wielu, którzy myślą nad jednym zadaniem tygodnie. A jak myślą, to z reguły są znakomici i wymyślają.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj