logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5111

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ttomiczek
postów: 208
2016-12-30 21:38:00

Potrzebuje taką granicę policzyć nie używając de l'Hospitala:

$\lim_{x \to \infty} (x^{2} ln (1-\frac{1}{x}) + x)$

Z góry dzięki, bo męczę się z tym i nie mam już koncepcji.


janusz78
postów: 820
2016-12-31 16:35:30

Podstawienia:

$ 1 - \frac{1}{x}= t, \ \ x = \frac{1}{1-t},\ \ x\to \infty, \ \ t\to 1^{-}.$

$ \lim_{t\to 1^{-}} \left(\frac{1}{1-t} + \frac{1}{(1-t)^2}ln(t) \right) = \lim_{t\to 1^{-}} \frac{1-t + ln(t)}{(1-t)^2}= - \lim_{t\to 1^{-}}\frac{(t-1)- ln(t)}{(t-1)^2}$ (*)

Uwzględniając asymptotyczne rozwinięcie licznika i mianownika w lewym sąsiedztwie punktu 1(*)

$ t-1 -ln(t) = 1 - \frac{1}{t} +o(t) = \frac{1}{t^2}+ o(1/t2), \ \ (t-1)^2 = 2(t-1)+ o(t-1) = 2 + o(1).$

Otrzymujemy:

$ -\lim_{t\to 1^{-1}} \frac{\frac{1}{t^2}+ o(1/t^2)}{2 + o(1)}= -\frac{1}{2}.$

Wiadomość była modyfikowana 2016-12-31 18:31:56 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj