logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5141

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2017-01-11 09:09:41

Niec X będzie zbiorem niepustym i niech f:X->X i f jest "na". Niech M będzie $\delta$-ciałem w X. Podaj kontrprzyklad, że rodzina zbiorów N={f (A), A$\in$M} nie jest $\delta$-ciałem w X.


tumor
postów: 8085
2017-01-11 10:04:30

Niech $X=R$ (Choć łatwo rzecz przeprowadzić i dla innych zbiorów, byle nieskończonych)

skoro f jest na, to $f(X)=X$, no i $f(\emptyset)=\emptyset$, czyli to za mało na zrobienie zadania. Weźmy
$\emptyset \neq A \neq X$,
Wtedy jest $\sigma$-ciałem $\{\emptyset, A, A`,X\}$

Jeśli jednak $f(A)\neq X \neq f(A`)$ oraz
$f(A)\cap f(A`)\neq \emptyset$, to nie jest $\sigma$-ciałem
$\{\emptyset, f(A),f(A`),X\}$
Funkcję taką nietrudno skonstruować, najłatwiej chyba wciąć $A=R_+$

--

Przy tym dowodzimy w ten sposób rzeczy jeszcze trochę mocniejszej niż polecenie mówi, bo pokazujemy rzecz dla ciał, a nie dla $\sigma$-ciał.


brightnesss
postów: 113
2017-01-11 10:19:35

Dziękuję. Cżyli można wziąć funkcje f(x)=$x^{2}$ i wtedy f (R+)=R+ , f (R-)=R+ i wtedy to nie będzie $\delta$-ciało.


tumor
postów: 8085
2017-01-11 10:25:22

Wtedy to nie będzie funkcja "na", czyli nie można.
Odpowiednio dobrany wielomian trzeciego stopnia (nie może być różnowartościowy) już wystarczy.


brightnesss
postów: 113
2017-01-11 10:31:28

A może być f (x)=$x^{2}$ . I wziąć sobie dziedzinę {2,-2,1} no i wtedy M={$\emptyset$, {2}, {1,-2}, {2,-2,1}. , a wtedy N={$\emptyset$, {4}, {1,4}} , a to wtedy nie jest $\delta$-ciałem. Dobrze myślę?


tumor
postów: 8085
2017-01-11 10:33:24

TA FUNKCJA NIE JEST "NA"

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj